Материал: 2277

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

y		y
		y
	x	x
		a
Р с. 86		Рис. 87
Пр мер
С1	не определена при x 0. В этой точке она имеет
Функц я y	не определена при x 0. В этой точке она имеет
x	lim f x ; lim f x (рис. 88).
разрыв второго рода.	lim f x ; lim f x (рис. 88).
	x 0	x 0
и		y
		y
		Разрыв второго рода
		x
		Рис. 88
бА
Примеры:
Определить разрывы функций, изображенных на рис. 89 91.
1.		Д
		Д
		И
		Рис. 89
		156

На рис. 89 изображен разрыв первого рода (скачок), не устранимый в точке x0 . Нарушен пункт 3 определения непрерывности:

lim f x	A; lim	f x B; A,B = const; A B.
x x0 0	x x0 0
С	в точке x0	имеет скачок, равный B A.
Функция f x	в точке x0	имеет скачок, равный B A.
2.
и
бА
		Рис. 90

Разрыв на рис. 90 – это разрыв первого рода (устранимый). Нарушены условия 1 и 4 развернутого определения непрерывности:

f x0 не существует, т. е. f x0		lim f x .
		x x0
3.	Д
3.
	Рис. 91	И
	Рис. 91
На рис. 91 показан разрыв второго рода
lim	f (x) или lim f	(x) .
x x0	x x0

Такой разрыв часто называют бесконечным.

157

Примеры:

1. Определить точки разрыва графика функции

2x2 ,

x 1;

y(x)

, 1 x 3;

x 2

3 x .

x 2,

При

с помощью

трех функцийy 2 x2;

Решен е.

Функц я

задана

;

y x 2.

этом функции y 2 x

и y x 2 непрерыв-

x 2

бА

ны, функц я y

не определена и поэтому разрывна при x 2.

x 2

x 1; x 3, в

Исследуем в д разрыва в точке x 2 и в точках

которых стыкуются графики указанных выше функций.

a) x 2.

Вычисляем односторонние пределы:

lim

;

lim

x 2 x 2

Д1

Пределы равны бесконечностям, значит,

x 2 точка разрыва

второго рода;

б) x 1.

Найдем односторонние пределы:

lim f (x) lim

2x2 2;

lim f (x) lim

x 1 0

x 1 0 x 2

x 1

Пределы слева и справа конечны, но не равны, поэтому в точке

функция имеет разрыв первого рода (скачок);

в) x 3.

Имеем

lim f (x) lim

lim f (x)

lim x 2 1.

x 3 0

x 3 0 x 2

x 3 0

158

Пределы слева и справа конечны и равны. Кроме того, функция определена при x 3 и y(3) 3 2 1, поэтому точка x 3 точка непрерывности функции.

2. Определить точки разрыва функции	y	x3	4	.
		4x2

Решение. Функция определена на всей числовой оси, кроме точки

х = 0.

Исследуем поведение функции в окрестности точки х = 0. Для

этого выч сл м односторонние пределы
ли						x3	4
Сx3		4				x3	4
lim	y lim		;	lim y	lim			.
x 0 0	x 0 0 4x2			x 0 0	x 0 0 4x2

	Область
Получ , что в точке х = 0 имеет место разрыв второго рода, а
прямая х = 0 является вертикальной асимптотой графика функции.
3. Определ		точки разрыва функции y	2x 1	.

Решение.			(x 1)2
		определения функции

D(y) = x ;1 1; .

Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки x =1. Вычис-
лим её односторонниеАпределы в этой точке:
lim	2x 1	;	lim	2x 1	.
	2
				2
x 1 0	(x 1)		x 1 0	(x 1)
		Д
Таким образом, точка x = 1 является для заданной функции точ-
кой разрыва второго рода, а прямая x = 1 –				вертикальной асимптотой.

Вопросы и задания для самопроверки поИразделу «Введение

в математический анализ» ([1,2,3,7,8,9,10,11], прил. 21–27)

1. Дайте определение функции.

2. Что такое область определения функции?

3. Какое множество называется множеством значений функции?

4. Приведите определение сложной функции.

5. Чем различаются явное и неявное задания функции?

159

6. Приведите определение и нарисуйте график показательной функции.

7. Как выглядят определение и график логарифмической функ-

ции?
8. Нарисуйте график функции y = sin x.
9. В каких точках равен 1 график функции y = cos x ?
10.	Укажите множество значений функции y = arcsin x.
11.	Какова область определения функции y = arccos x ?
12.	На как х промежутках функция y = tg x возрастает ?
13.	Нар суйте график функции y = arctg x .
14.	Дайте		обратной функции.
С
15.	Как	функц называют элементарными?
16.	Пр	вед те определение предела последовательности.
17.	Какая последовательность называется сходящейся?
18.	Что такое δ-окрестность точки x0?
19.	Нап ш те			предела функции при x x		0	.
определение						0
20.	В каком случае предел функции называется правым?
21.	Дайте определение предела функции при стремлении к точке
слева.
22.	Укажите нео ходимое и достаточное условие существования
предела функции в точке.
23.	Что означает «x »?
24.	Что означает «x »?
25.	НапишитебАопределение lim f x A.
			x
26.	Что означает запись lim			f x A?
			x	Дlim f x .
27.	Приведите определение			Дlim f x .
				x x0	И
28.	Дайте определение		lim	f x .
			x x0
29.	Что означает запись lim f x ?
			x x0

30.Что называется бесконечно малой величиной (б.м.)?

31.Что такое бесконечно большая величина (б.б.)?

32.Сформулируйте теорему о связи б.м. и б.б. величин.

33.Укажите критерий существования предела функции.

34.Вспомните теоремы о пределе суммы, произведения и частного функций.

35.Напишите формулировку теоремы «о двух милиционерах».

160

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия