Материал: 2277

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

		5		2	25
				x			25
			2			4
=	lim							.
				2		9	9
	x 0 3
				x
						4
			2

sin3x sinx

2sin

3x x

cos

3x x

lim

ln 1 x

x 0

используем

lim

2sinxcos 2x

Сln 1 x

x 0

(

экв

валентность sin ~ ;

ln 1 ~ при 0)

limбАlim

lim

2xcos2x

lim 2cos2x 2cos

0 2.

x 0

lim

x x 1

lim

x 0 x2 x

x 0

x 0 x 1

5 x

x 0

x 1

x 0

(второй предел в получившемся произведении является замечатель-

ным и

равен

(можно

также использовать

эквивалентность

a 1~ lna при 0)

0 1

Посмотрите видео 5.

151

3.3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

§ 32. Непрерывность функции в точке

Функция y f x называется непрерывной в точке а, если она

определена в некоторой окрестности точки a и lim f x f a (прил.

x a

27).

Пределы справа слева:

и
lim	f x lim	f x предел справа (рис. 75);
x a	x a
Сx a
	бА
			а
			Рис. 75
lim f x lim		f x предел слева (рис. 76).
x a	x a
x a

		Д
	Рис. 76
Пределы справа и слева могут быть разными (рис. 77).
y			И
y
A
B
			x
lim	f x В	a	lim f x A
x a			x a

A B

Рис. 77

152

Развёрнутое определение непрерывности

Функция y f x является непрерывной в точке а, если 1) определено значение функции в точке а; 2) существуют конечные односторонние пределы

lim

f x ; lim f x ;

x a

3) эти пределы равны между собой: lim

f x lim

f x ;

x a

f x

x a

f x f a

эти пределы равны f (a):

lim

x a

( . 78).

рис

f а

Рис. 78

бА

Если функция непрерывна в каждой точке отрезка a;b , то го-

ворят, что функция непрерывна на отрезке a;b .

Свойства непрерывных функций

Теорема 1. Если f x и g x непрерывны в точке а, то

f x g x сумма (разность) непрерывна в точке а;

f x g x произведение непрерывно в точке а;

f x

g x

отношение

непрерывно

в точке

при

условии

g a 0.

y x

Теорема 2 (непрерывность сложной

функции):

если

непрерывна в

точке а и z f y непрерывна в точке

b a , то

153

сложная функция z f x непрерывна в точке а.

Теорема 3. Все элементарные функции непрерывны в своей об-

ласти определения.

Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке

a;b , то она достигает на этом отрезке своего наименьшего и наи-

большего значений: x1,x2

a,b : f x1 m,

f x2 M .

ледствие теоремы Вейерштрасса. Если функция непрерывна

на

отрезке

a;b ,

то

она

ограничена

на

этом

отрезке:

C :

f x C на a,b .

Замечан е. Для открытого интервала (а, b)

теорема Вейершт-

расса неверна.

Теорема Коши. Если функция непрерывна на отрезке a;b , то

она пр н мает все промежуточные значения между наибольшим и

м значен ями: k

m,M

a,b

: f

наименьш

Следств е теоремы Коши. Если функция непрерывна на от-

резке a;b

пр н мает на концах отрезка значения противополож-

ных знаков, то внутри отрезка найдется хотя бы одна точка, в которой

она обращается в нуль: x0

a,b : f x0 0.

§ 33. Точки разрыва графика функции и их классификация

ТочкабА, в которой нарушено хотя бы одно из четырех условий

непрерывности, называется точкой разрыва графика функции.

Точка а называется точкой разрыва первого рода, если условие

2 развернутого определения непрерывности функции не нарушено.

Графики функций с разрывами первого рода имеют вид, изо-

браженный на рис. 79 83.

Иf a

Рис. 79

Рис. 80

154

y				y
f a					f a
несуществует
		x				x
	a				a
Р с. 81					Рис. 82
С	y			f a не существует
С
и
				(устранимый разрыв)
					x
				a
				a
			Рис. 83
Разрыв, изо раженный на рис. 83, называется устранимым раз-
рывом. Для устранения разрыва достаточно доопределить функцию в
точке a: f a lim	f x lim			f x .
x a		x a
Точка разрыва а называется точкой разрыва второго рода, если
бА
нарушается условие 2 непрерывности функции, т. е.
lim	f x и (или) lim				f x .
x a				x a
Графики функций		с		Д
Графики функций		с	разрывами второго			рода показаны на
рис. 84 87.					И
y				y
				y
		x
		x				x
a						x
a						a
						a
Рис. 84					Рис. 85
				155

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия