Материал: 2277

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

3. lim		x 1	0			lim					x 1

				0
x 1 2x2 x 1				0				x 1				1
									2 x 1 x
									2 x 1 x			2
												2
lim		1			1					1	.
lim		1									.
x 1		1					3		3
	2 x		2
	2 x		2			2
		2				2

Для разложен я знаменателя было проведено вычисление кор-

ней:

2x2 x 1 0;

D 1 4 1 2 9;

1 3

; x

1,2

1. limбАsin3x ~ 3x;sin5x ~ 5x lim

sin x

III. Первый замечательный предел имеет вид lim

1, отсю-

да получаем экв валентности

x 0 x

при

sin ~ tg ~ arcsin ~ arctg ~

0 (см. прил. 5).

Ранее доказано, что эквивалентные функции-множители можно

заменять друг на друга при вычислении пределов.

Примеры:

sin3x 0

x 0

sin5x

x 0

2.		arcsin2x 0						2x		1			И
	lim				lim				.				И
	lim				lim				.
	x 0 sin6x		0			x 0 6x				3
3.	lim	tg8x		0	lim		8x			8	2	.

										12	3
	x 0 arctg12x			0		x 012x				12	3

IV. Второй замечательный предел имеет два варианта записи:

lim 1 x	1		1 x
	x e;	lim 1		e.

x 0		x	x

146

С помощью второго замечательного предела вычисляются неоп-

ределённости вида

1 .

Примеры:

x 1

lim 1

1. lim

x 1

x x 1

x 1

x 1 x 1

2 2 x 1

lim 1

lim

lim 1

x 1

e2.

lim ex 1

lim e x

x 1

2x 4

x 1

2.lim

lim 1

2x 6

x 2x

2x 4 2x 6 x 1

2 x 1

lim 1

2x 6

бx 3 1А

x 1

x 3

lim 1

lim e x 3

lim e

x 3

6x 2

x 1

Д6x 2

3. lim

lim

x 6x 3

6x 3

6x 2 6x 3 x 1

5 x 1

lim 1

6x 3

6Иx 3

6x 3

x 1

5x 5

6x 3

lim e6x 3

e6 .

lim 1

6x 3

147

V. Пределы различных видов.

Примеры:

1. lim	1 x x2	1 x x2	0

	x2	x	0
x 0

(преобразуем функц ю, домножив числитель и знаменатель дроби на

выражен е

. В результате в

сопряженное

1 x x2

числителе получ м выражение вида a b a b

и используем фор-

мулу

квадратов)

1 x x2

lim

1 x x2

x 0

1 x x

разностиx x 1 x x

lim

1 x x2 1 x x2

x 0 x x 1

1 x x2

lim

x 0

бx x 1 1 x Аx 1 x x

lim

x 0 x 1

1 2

1 x x2

2. lim

5 x

2x 6

x2 1

x 1

lim

5 x

2x 6

5 x

2x 6

x2 1

x 1

5 x

2x 6

148

lim

5 x 2x 6

x2 1

x 1

5 x

2x 6

x 1

lim

x 1 x 1 x 1

5 x

2x 6

lim

x 1

2 2 2

x 1

5 x

2x 6

3. lim

x 0

1 x 1

б2 А2

выражение

(домнож м

знаменатель

числитель

дроби

на

x 1 2

1 x

1 ,

получим в

знаменателе

формулу

разности

квадратов a 1 a2

a 1 a3

lim

x 3

x 1 2

1 x

x 0

1 x 1

lim

x 3 x 1 3 1 x 1

lim 3

x 1

3 1 x 1

x 0

x 1 1

x 0

4. lim

1 x 3 1 0

x 0

(положим 1 x y5,

тогда y 1 при x 0)

3 1

y 1 y2 y 1

lim

y 1 y4 y3 y2

y 1

y 1 y

y 1

lim

y2 y 1

y 1 y4 y3 y2 y 1 5

149

5. lim

x2 8x 3

x2 4x 3

(умножим и разделим выражение на сопряженное выражение и ис-

пользуем формулу a b a b a2

b2)

lim

x2 8x 3

x2 4x 3

2 8x 3

x2 4x 3

x2 8x 3

x2 4x 3

lim

x x2 8x 3

x2 4x 3

(раздел м ч сл тель

знаменатель

на x)

lim

1 1

дроби

6. lim

1 cos5x

x 01 cos3x

(используем формулу 1 cos 2sin2

)

2sin

2 5

= lim

2 3

x 0

2sin

(заменим синусы на2эквивалентные им функцииИsin ~ при 0)

150

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия