Материал: 2277

lim

x

1 x

1

x

1 1 lim

1

x

lim

1

x

.

x

x

x

x a

x a x

x a x

1

1

1

1

менится, если эти б.м. заменить эквивалентными. Теорема доказана.

С

Примеры:

помощью табл цы эквивалентных функций и теоремы об ис-

пользован

экв валентности б. м. функций при вычислении преде-

Найти

лов упрощается нахождение пределов.

1.

lim

sin4x

.

x 0 tg3x

Решен е. В с

лу первого замечательного предела sin 4x ~ 4x, tg 3x ~

~3x при x

бА

0

, поэтому

lim

sin4x

= lim

4x

=

4

.

x 0

tg3x

x 0 3x

3

2. Найти lim

1 sin3x

1

.

x

x 0

tg

Д2

Решение.

2

2

1

sin3x

1

3x

1 sin3x 1 0

lim

lim

2

lim

2

lim3 3.

x

x

x

x 0

tg

0

x 0

x 0

x 0

2

При вычислении предела использованы эквивалентности 7, 2, 1.

Если lim

x

0,

то x

называется

Иб. м. более высокого по-

x a x

рядка малости, чем x в точке a.

Если lim

x

,

то x

называется б. м.

более низкого по-

x x

Если

lim

x

не существует, то x и x называются не-

x x

сравнимыми.

Примеры:

С

Вычислить пределы:

Решение. Вычисление пределов начинается с подстановки вместо x

числа, к которому стремится x (при x 3

вместо x будем подстав-

лять 3

т.д.). При выч слениях следует использовать основные свой-

и

ства функц й (см. пр л. 2 5).

1.

lim

2x 1

2 3 1

5

;

x 3

x 6

3 6

9

бА

2.

lim

3 x

3 1

2

2

;

1 2

3

3

x 1 x 2

4x

x

4 0

0

0

3.

lim

0.

x 0

7 x

7 0

7

В этих примерах

мы получили числа в результате вычислений,

которые и дают значение предела.

Необходимо

помнить связь

б.б.

и б.м. функций (теорема 5 из

§ 30):

1

0;

1

.

Д0

Например:

И

1.

lim

3 x

3 0

3

;

x

0

x 0

0

2.

lim

2

2

2

0.

x x2 x 3

2 3

0

0

Ситуации, в которых получаем

;

;

1

;

0

и другие,

0

считаются неопределённостями и вычисляются различными способа-

ми. Рассмотрим некоторые приемы вычисления пределов функций

для различных видов неопределенностей.

I. Неопределенность

.

Такая с туац я может возникнуть, например, при

x при

делении многочлена

многочлен. Для вычисления предела в такой

ситуац

нужно разделить числитель и знаменатель дроби на

x в

Сстепени.

Пр меры:

Выч сл м пределы:

наибольшей

6x

8

3 x2

x2

1.

lim

3x

2 6x 8

(делим на x2 )

lim

2

x

2x

4x 1

x

2x

2

4x

1

6

8

6

8

x2

x2

x2

3

3

3 0 0

3

x

x

2

lim

.

4

1

x

2

2

4

1

2 0 0

2

x

x

2

бА

2x 6

2x

6

2

6

2.

x

2

x

2

lim

x

x

2

lim

lim