Материал: 2277

3) f xn

б. б., то

lim f x (предел функции равен )

(рис. 70).

x a

y

С

и

a

x

бА

Рис. 70

§ 30. Основные свойства пределов функции

Теорема 1. Если lim f x A и lim f x B, то A B.

x a

x a

Иными словами, если предел функции при стремлении к a су-

ществует, то он единственный.

Доказательство. Предположим противное, т. е. предположим,

что у функции существуют два различных предела при стремлении к

Д

а: lim f x A и lim f x B, причем

A B. Выберем значение

x a

x a

и В не пересекались:

А В

так, чтобы –окрестности точек

.

Тогда, по определению предела lim f x A, у точки а найдется ок-

рестность

x a

x a

И

1, такая, что для всех x из этой окрестности значе-

ния функции удовлетворяют неравенству

f x A

, т. е. лежат в

-окрестности

точки А.

Аналогично,

по определению предела

Итак, A B. Теорема доказана.

Теорема 2. Если в некоторой окрестности точки а выполняется

неравенство f x g x и lim f x A;

lim g x B, то A B.

С

x a

x a

Теорема 3 (о сжатой переменной). Если в некоторой окрестно-

сти

точки а выполняется

неравенство

f x x g x и

lim f x lim g x A, то lim x A (рис. 71).

x a

x a

x a

и

Эта теорема называется также теоремой о двух милиционерах.

y

бА

y = g(x)

y = φ(x)

y = f(x)

0

x0

x

Рис. 71

Теорема 4. Пусть lim f x A; lim g x

B, тогда

x a

x a

И

1) lim f x g x A B;

Д

x a

2)lim f x g x AB;

x a

f x

A

3) если B 0,

lim

;

B

x a g x

4)lim С f x C A, где С число;

x a

5)lim f x g(x)

AB.

x a

нуть выражения вида 0 ,

,

0

, 1 и подобные, которые являются

0

функций).

1

1. Если lim f x 0, то lim

.

f

x

x a

x a

чески

1

2. Если

lim f x

, то

lim

f x

0.

С

x a

x a

хемат

утверждение теоремы 5 можно записать так:

бА1

1

1

0

;

0

.

Пр меры:

1. lim

x2

2x 5

1 2 5

4 1

x 1

x2

7

x 1

1 7

x 1 8 2

2. lim

5

0, так как

lim tg x tg

.

tg x

x

x

2

2

2

Д1 1

3. Покажем, что (х) =

б.м. при x .

x2

Действительно,

1

ε выполняется для всех х,

неравенство

x

2

И

которые удовлетворяют условию x

, т. е. при N

.

Введем теперь определения предела функции при

x и пре-

дела функции, равного бесконечности.

Предел функции на бесконечности

1. Если для любой xn п.б.б.,

lim f xn A, то

lim

f x A

n

x

2.

Если для любой о. б. б. xn lim f xn A,

то

lim f x A

(предел

f x на равен A).

n

x

Предел функции равен бесконечности

С

последователь-

Если для любой п. б. б. последовательности xn

ность f x также п. б. б., то lim

f x .

x

f x .

Упражнен е. Написать варианты определений

lim

x

§ 31. Замечательные пределы

Теорема (первый замечательный предел).

бА

Справедл во равенство

иlim

sin x

1.

x 0

x

заемой углом дуги окружности, к ее радиусу

x

l

(рис. 72). Из со-

Д

R

ображений подобия получаем, что x не зависит от R.

Рис. 72

И

x

BC

BC

; tg x

CD

CD

; sinx

AB

AB

.

R

OC

OB

С

и

бА

Рис. 73

Из р с. 73 очев дно, что

AB

BC

CD

. Поэтому

sin x x tg x.

Разделим полученное неравенство на sinx 0

и выполним пре-

образования:

sinx x

sin x

:sin x;

cosx

И

x

1

sin x

1

Дcos x 1.

sin x

cosx

x

Теперь воспользуемся теоремой «о двух милиционерах» (теоре-

ма

3 из § 30). Поскольку

limcosx 1

и lim1 1,

то, по теореме,

sinx

x 0

x 0

lim

1.

x 0

x

Следствие. Также справедливы равенства

lim

tg x

1;

lim

arcsin x

1; lim

arctgx

1.

x 0 x

x 0 x

x 0 x