Материал: 2277

Число a

называется пределом последовательности xn , если

для любого числа 0 существует номер N ,

такой, что для всех

n N выполняется неравенство

xn a

(рис. 65).

Обозначение: a lim xn.

С

n

а

х

(

(

)

)

если

2

1

Рис. 65

Последовательность n

называется бесконечно малой (б. м.),

lim n 0.

n

бА

Пр мер

1

1

1

1

, k

0

;

;

;

; б.м. последовательности.

n

nk

n

n2

Свойства б. м. последовательностей:

1.

lim xn a xn a б.м.

x

Д

2.

Если an и n б.м., то an bn б.м.

3.

Если an и n б.м., то an bn б.м.

4.

И

Если an ограниченная последовательность, n

б.м., то

Последовательность an называется бесконечно большой (б. б.),

последовательность, составленная из величин

an

, является

Сп. б. б.

Обозначен е: lim an .

n

Пр мер

n

2

если

., не о. . б., а б. б. последовательность.

1 n

это не п. .

Основные теоремы о последовательностях, имеющих предел

б

Теорема 1 (связь

.м. и

.

. последовательностей):

1. Если an б.м., то

1

б.б.

1

.

a

0

Аn

2. Если an б. б., то

1

б. м.

1

0 .

a

n

Теорема 2. Если

lim x

n

aД, то x ограниченная последо-

вательность.

n

n

Теорема 3. Если

lim xn

a; lim xn b, то a b. (Если после-

n

n

И

довательность имеет предел, то он единственный.)

Теорема 4. Если lim xn

a; lim yn

b, то

n

n

1)

lim xn yn a b;

n

2)

lim xn yn a b;

n

3. при b 0

lim

xn

a

;

cx

n yn

b

4. lim

c lim x

n

, где c const.

n

n

n

С

lim xn

a; lim yn

b, причем

xn yn при

Теорема 5. Если

всех n, то a b.

n

n

Теорема 6 (о двух милиционерах). Если xn zn

yn

при всех n

и

a.

и lim xn lim yn a, то lim zn

n

n

n

Последовательность xn , для которой выполняется неравенство

x1 x2

x3 , называется неу ывающей.

бА

Последовательность xn , для которой выполняется неравенство

x1 x2

x3 , называется невозрастающей.

Неубывающ е

невозрастающие последовательности называ-

ются монотонными.

Теорема 7. Всякая монотонная ограниченная последователь-

ность имеет предел.

n

1

Рассмотрим последовательность 1

.

n

Д

Эта последовательность обладает свойствами:

1) возрастает;

2) ограничена [заключена в интервале 2, 3 ], поэтому она имеет

предел, который обозначим е;

1 n

e 2,7 , т. е. lim 1

e (e осно-

n

n

вание натурального логарифма loge x ln x; ex

экспонента).

3.2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

И

§ 29. Предел функции

С

x a

иллюстрируется (по определению предела) так: для всех точек x, от-

стоящих от а не далее, чем на , значения f(x) отличаются от А не бо-

лее, чем на .

и

y f x

y

бАx a

А

0

а

x

Рис. 66

Пример

а.

Д

Показать, что lim x =

В самом деле

f x

x, поэтому для

любого 0:

f x а

при условии x a

(здесь = ).

Можно использовать ещё одно определение предела функции.

Рассмотрим рис. 67.

И

y

А

f xn

y f

x

xn

x

a