Материал: 2277

6.Написать уравнение прямой, проходящей через точку B(4; 2), параллельно прямой 4x 3y 15 0.

7.Условие перпендикулярности прямых на плоскости.

8. Написать уравнение прямой, проходящей через точку B(4; 2),

23.Параметрические уравнения прямой в пространстве.

24.Уравнение прямой через две данные точки.

25.Определение угла между прямыми в пространстве.

26.Условие параллельности прямых в пространстве.

27.Условия перпендикулярности прямых в пространстве.

28.Определение угла между прямой и плоскостью.

29.Вычисление угла между прямой и плоскостью.

30.Условие перпендикулярности прямой и плоскости.

31.Поверхности второго порядка.

32.Как выглядят уравнения второго порядка со смещенным центром?

33.Метод сечений изучения поверхностей.

34.Канонический вид поверхностей второго порядка.

35.Почему эллипс, гипербола, парабола называются коническими сечениями?

36.Укажите основные свойства поверхностей второго порядка.

37.Приведите к каноническому виду, назовите и постройте поверхность x2 4y2 8z2 6x 10y 4z 0.АИ

117

38. Приведите к каноническому виду, назовите и постройте поверхность x2 4y2 8z2 6x 10y 4z 5 0.

39. Цилиндрические поверхности, их определение и свойства. 40. Приведите к каноническому виду, назовите и постройте по-

верхность x2 4y2 6x 10y 5 0.

Сских3.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ

Раздел 3. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ПЕРЕМЕННОЙ

§ 26. Математ ческие символы. Множества

ЗачаткиАбелемметодов математического анализа были у древнегречематемат ков (Архимед). Систематическое развитие эти методы получ ли в XVII в. в трудах Ньютона и Лейбница. В XVIII XIX вв. фактическ й матер ал ыл логически обобщен Эйлером, Коши, Ло-

бачевским, , Риманом и другими учеными. Дифференциальное исчисление раздел математического ана-

сформулировали основные положения математического анализа и указали на взаимообратный характер дифференцирования и интегрирования. Создание дифференциального исчисления (вместе с интегральным) открыло новую эпоху в развитии математики. С этим связаны такие дисциплины, как теория рядов, теория дифференциальных уравнений и многие другие. Методы математического анализа нашли применение во всех разделах математики. Очень распространилась область применения математики в естественных науках и технике.

Дифференциальное исчисление базируется на важнейших понятиях математики, определение и исследование которых и составляют предмет введения в математический анализ: действительные числа

118

(числовая прямая), функция, граница, непрерывность. Все эти понятия получили современную трактовку в ходе развития и обоснования дифференциального и интегрального исчислений.

нятия д фференц ального исчисления: производная и дифференциал. Оф ц альной датой рождения дифференциального исчисления можно сч тать май 1684 г., когда Лейбниц опубликовал первую статью «Новый метод максимумов и минимумов…». Эта статья в сжатой малодоступной форме излагала принципы нового метода, названно-

дав тем самымЛейбницаи одно из названий новому разделу математики. В ос-

написал первый уче н к, излагавший новый метод в применении к

теории плоских кривых. Он назвал его « нализ бесконечно малых»,

нову изложения положено понятие переменных величин, между которыми имеется некоторая связь, из-за которой изменение одной влечёт изменение другой.

А В математике употребляютсяДспециальные символы, позволяю-

щие сократить запись и точнее выразить утверждение:

, , , , , , , , , (прил. 21) .

Например, применяя символ «>» к числам a, b, получим запись «a > b», которая является сокращением для предложения «Число a больше числа b». Если l1, l2 – обозначения прямых, то запись l1 || l2 есть утверждение, что l1 параллельна l2 . Запись «x M» означает, что x является элементом множества M.

«–3 не больше 0» («неверно, что –3 больше 0»).

2.Конъюнкция применяется к двум высказываниям или предикатам, соответствует союзу «и», обозначается А & B (или A B).

119

Так, формула (–3 > 0) & (2 2 = 4) означает предложение «–3 > 0 и 2 2 = 4», которое, очевидно, ложно.

3.Дизъюнкция применяется к двум высказываниям или предикатам, соответствует союзу «или» (неразделительному) и обозначается

ству M2» изображается формулой x M1 x M2 .

4.Импл кац я соответствует союзу «если ..., то ...» и обозначается A B.

Так,зап сь«a > –1 a > 0»естьсокращениедляпредложения «Ес-

лиa>–1,тоa>0».

ся» и аналогичнобА. Квантор , примененный к предикату F(x,...), соответствует предложению «СуществуетДx, такой, что F(x,...)» («Найдется x, для которого F(x,...)») и обозначается x F(x,...).

ременную (напр мер, x) или несколько переменных, при этом получа-

Понятие множества является первоначальным понятием математики, точное определение множества не дается, но его можно пояснить, описать через другие понятия. Можно сказать, что множество – это совокупность, собрание каких-то объектовИ, предметов, при этом объект, входящий в это множество, называют его элементом. Множества могут содержать как конечное число элементов, так и бесконечно много элементов. Рассматривают и множество, не содержащее элементов,егоназываютпустым, обозначают символомØ.

В математическом анализе чаще всего рассматриваются числовые множества, за некоторыми из них закреплены специальные обозначения.

Множество всех натуральных чисел: N = {1,2,3,...}.

Множество всех целых чисел Z содержит натуральные числа,

ноль, целые отрицательные числа: Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.

120