Материал: 2277

A A

1 2 2 1 1 2 2 2 2

5

.

1

2

2) Найдем координаты векторов

и

:

A1A3

A1A4

1 1 ; 1 1 ; 4 2 0;2;2

5; 2;4 .

A1A3

A1A4

Тогда

cos

A1A3

A1A4

5

0

2 2 4 2

4

4

2

.

A1A3

A1A4

8 25 4 16

8 45

2 2 3 5 3 10

С

2. Нап сать

прямой в каноническом виде

x y 3z 4 0;

уравнение

x y z 1 0.

Решение.

составить каноническое уравнение прямой, необхо-

димо найти её направляющий вектор и точку на прямой.

Чтобы

Направляющий вектор прямой a находим как векторное произ-

ведение векторов-нормалей плоскостей:

a

=

n

×

n

(

n

={1,1,

3};

n

={1,1,1}.

А1 2 1 2

j

k

i

1

3

1

3

1

1

a

n1

n

2 1

1

3 i

j

k

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Д

5

4

1

Теперь определим x: x

1 0; x

.

4

4

1

5

Итак, получ ли точку

;0;

.

4

4

Составляем канон ческое уравнение прямой

1

5

x

4

y 0

z 4

;

и4

1

4

5

0

x

y

z

4

4

.

4

0

4

Это искомое каноническое уравнение прямой.

Д

3.НайтибАточку пересечения прямой и плоскости:

x 1

y 1

z 3;

x 2 y z 1 0.

2

4

1

И

Решение. Запишем уравнение прямой в параметрическом виде

x 1

y 1

z 3

t

2

4

1

x 1 2t;

x 2t 1;

y 1 4t; или

y 4t 1;

z 3 t

z t 3.

2t 1 2 4t 1 t 3 1 0;

2t 1 8t 2 t 3 1 0;

5t 1 0;

t

1

.

1

5

Подставляем

t

в систему

С

5

1

7

x

2

1

;

5

5

бА

1

1

y

4

1

;

5

5

и

1

14

z

3

.

5

5

7

1

14

Итак, нашли координаты точки пересечения

5

;

5

;

.

5

§25. Поверхности второго порядка

Д

Вспомним, что плоскость задается в пространстве уравнением

первой степени Ax By Cz D 0, поэтому плоскость называется по-

С

x

2

y2

z2

0.

a2

b2

c2

и

бА

Рис. 58

Эта поверхность второго порядка состоит из прямых, пересе-

кающихся в одной точке – вершине конуса. Действительно, если точ-

ка с координатами (x0, y0, z0)

удовлетворяет уравнению конуса, то

ему

удовлетворяют

также точки

с

координатами x =x0 t;

y =y0 t;

z=z0

t при любом значении параметра t. Записанные уравнения явля-

ются параметрическими уравнениями прямой, проходящей через на-

чало координат и точку (x0, y0, z0).

Конус состоит из таких прямых,

называемых образующими конуса. Ось аппликат канонической сис-

темы координат является осью конуса.

Оказывается, плоскость, проходящаяДчерез вершину конуса, ли-

бо не пересекает его в другой точке, либо пересекает по двум обра-

зующим, либо касается вдоль образующей.

Любая плоскость, параллельная этим плоскостям, в первом слу-

чае пересекает конус по эллипсу, во втором случае пересекает по ги-

перболе, в третьем случае – по параболе. ПоэтомуИэллипс, гиперболу,

параболу часто называют коническими сечениями.

Цилиндрическая поверхность – это поверхность, образуемая

движением прямой

l (в

каждом

своём положении

называ-

мой образующей) вдоль некоторой

кривой-направляющей так, что