Материал: 2277

A x x0 B y y0 C z z0 0.

Имеем

2 x 2 1 y 5 5 z 3 0 2x y 5z 4 5 15 0

Найти

2x y

5z 16 0.

С3. уравнение плоскости, проходящей через точки

M1 1,5, 7 , M2 3,6,3 и M3 2,7,3 .

бА

Решен е. Используем уравнение плоскости, проходящей через три

точки. Подстав м координаты данных точек:

x 1

y 5

z 7

x 1

y 5

z 7

0.

3 1

6 5

3 7

0

4

1

10

2 1

7 5

3 7

3

2

10

Раскладываем определитель по элементам первой строки, полу-

чаем

Д

2 x 1 2 y 5 z 7 0 2x 2y z 15 0.

4. Найти расстояние от точки M0 2; 3;1 до плоскости, прохо-

дящей через три точки M1 1;1; 1 , M2 3;2; 4 ,

M3 2;1;0 .

И

Решение. Составим уравнение плоскости, проходящей через три точ-

ки M1, M2, M3:

x 1

y 1

z 1

3 1

2 1

4 1

0

2 1

1 1

0 1

или

x 1

y 1

z 1

2

1

5

0.

1

0

1

x 1

1

5

y 1

2

5

z 1

2

1

0;

0

1

1

1

1

0

С

1 x 1

3 y 1 1 z 1 0;

x 1 3y 3 z 1 0;

уравнение

проходящей через точки M1,

x 3y z 5 0

плоскости,

M2, M3.

Теперь

спользуем формулу расстояния от точки до плоскости:

б

А

13

13 11

d

2 3 3 1 5

2 9 6

13

.

12 32 1 2

11

11

11

11

Итак,

13

11

расстояние от M0 до плоскости.

11

5. Найти

угол

между

плоскостями

x y 3z 4 0 и

n n

И

2

2 1 1 Д1 3 1 2 2

cos

1

.

n1

n2

12 1 2 32

22 12 1 2

11 6

66

2

2

Получили

cos

; arccos

.

66

66

M0 x0, y0,z0 и направлением, т.е. некоторым вектором, называемым

направляющим (прил. 18). Обозначим его

{ =, m,n} (рис. 54).

a

С

и

a

М(x,y,z)

М0

(x0 ,y0,z0 )

Рис. 54

бАm n

x x0

Д

.

2. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точ-

ки M1 x1,y1,z1 ,

M2 x2, y2,z2 ,

получают из канонического, считая

И

направляющим вектором прямой вектор M1M

2 , лежащий на прямой:

x x1

y y1

z z1

.

x2 x1

y2 y1

z2 z1

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

а) Прямая

x x0

y y0

z z0

параллельна

плоскости

m

n

Ax By Cz D 0 тогда и только тогда,

когда направляющий век-

С

тор прямой a ,m,n перпендикулярен нормали n A,B,C плос-

кости (рис. 56), т.е. если

0

или A Bm Cn 0 (прил. 19);

a

n

и

n

a

бА

Рис. 56

б) прямая перпендикулярна плоскости при условии

//

, т.е.

n

a

A

B

C

;

Д

m n

в) угол между прямой и плоскостью находят по формуле

sin

n

a

A Bm Cn

.

n

a

2

2

2

2

2

2

A B

C

m

n

Примеры:

И

A1 1; 1;2 ,

A2 2;1;2 ,

1. Даны координаты вершин пирамиды

A3 1;1;4 , A4 6; 3;6 .