Материал: 2277

шения двух целых чисел:

p

(p Z,

q Z, q 0), т. е.

q

С

def

p

Q

{

| p Z & q Z & q 0}.

def

q

Здесь знак заменяет слово «называется» или «равно по опре-

бесконечную дро ь можно о ратить в обыкновенную дробь p/q.

дической

Множество действительных чисел R – это множество всех бес-

конечных десят чных дро ей. Иррациональным числом называется

всякая

непериодическая десятичная дробь, т. е. множест-

во всех рациональных и иррациональных чисел образует множество

бесконечная

действительных чисел R.

Множество действительных чисел является подмножеством

множества комплексных чисел C , т. е. чисел вида ai + b, где a R;

b R; i

1.

А

Из определения числовых множеств можно заключить, что

N

Z Q R C.

На прямой выберем начало координат 0, единицу масштаба и

Д

положительное направление. Тогда каждому действительному числу

М

xИ

a,b x

a x b ;

, a x

x a ;

, R вся числовая ось;

С– :

a,b x

a x b ;

– полу нтервалы:

a,b x

a x b ;

отрезки

a, x

x a .

интервал a,b , со-

Окрестностью точки x0 называется любой

держащий эту точку (рис. 62).

x0

x

бА

(

)

a

b

Рис. 62

-окрестностью точки

Д

x0

x0

называется

интервал вида

,x0 , 0 (рис. 63).

x0

x

x0

x0

И

x0 x x0 ;

x x0 ;

§ 27. Функц

x x0

.

С

Пусть X

Y ч словые множества. Функцией из множества X во

множество Y называется правило, по которому каждому числу x из

множества X однозначно соответствует некоторое число y из множе-

ства Y. Множество X называется областью определения функции,

множествоиY называется о ластью значений.

Обозначен я:

f : X Y ;

X

f

Y; y f x .

Примеры:

y x2 1. Тогда X , ее об-

1. Рассмотрим функцию

ластьопределения; Y 1, областьзначений.

бА

2. Для функции y =

x2

1 областью определения является

множество X ; 1 & 1; ,множество значений Y 0, .

2

x, если x 0;

sin

здесь X = R, Y ; 1 .

3. y =

1

, если x 0,

Д

x

ниями x и y задается с помощью графика (прил. 23).

Элементарные функции

1.

y xn степенная функция.

2.

y ax a 0 показательная функция.

С

3.

y loga x логарифмическая a 0; a 1 .

4.

y sin x;

5.

y cosx;

тр гонометрические функции.

и

6.

y tgx;

7.

y ctgx.

8.

y arcsinx;

9.

y arccosx;

о ратные тригонометрические функции.

10.

y arctg x;

11.

y arcctg x.

бА

Операции над функциями

Функции можно складывать, вычитать, перемножать, делить.

Примеры:

Д

1.

y

2x2 sin x

функция образована умножением функций

y 2x2

и y

2

sin x .

1

x2

2.

y

функция получена делением функций

y x2

и

y2 cosx.

cosx

И1

f

1. z sin x2 y x2;

z sin y .

С

y sin x; z y2 .

2. z

sin x 2

3. u tg log2 x3 y x3;

z log2 y;

u tgz .

и

§ 28. Ч словые последовательности

Ч словой последовательностью называется функция, областью

определен я которой является

множество натуральных чисел 1, 2, 3.

1. a бА, т. е. a 1; a ; a ; .

Элементы (члены) последовательности записываются в виде

f 1, f 2 , f 3 , ;

или

an a1, a2, a3, ;

или

xn x1, x2, x3, .

Примеры:

1

1

1

n

1

2

3

2

3

n

2.

an 1 n ,

т.е.

a1 1; a2 1; a3 1, ; a51 1;

a200 1,... .

1 , т. е. a 1;a

И

3. a

n

a 1, .

1

2

Д3

Последовательность an называется ограниченной, если суще-

ствует число М, такое, что

an

M при всех n (рис. 64).

an

х

(

)

М

0

М