Материал: 2277

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

36.

Определите неопределенное выражение, возникающее при

вычислении пределов.

 

 

37.

Какие типы неопределенностей вы знаете?

38.

Какие пределы называют первым замечательным пределом?

вторым замечательным пределом?

С

 

 

39.

Дайте определение эквивалентных б.м.

40.

формулируйте теорему о вычислении пределов с помощью

эквивалентностей б.м.

 

 

41.

Нап ш те основные эквивалентности б.м.

определение

 

42.

Что называют

приращением аргумента и приращением

функц

?

 

 

43.

Пр вед те

 

функции, непрерывной в точке.

44.

В каком случае функция является непрерывной на отрезке?

45.

бА

Как е точки называют точками разрыва функции?

46.

Дайте

устранимого разрыва функции.

47.

Какая точка разрыва является точкой разрыва первого рода?

48.

В как х случаях функция имеет разрыв второго рода?

49.

Сформул руйте терему Вейерштрасса и ее следствие.

50.

Сформулируйте терему Коши и ее следствие.

Раздел 4. ДИФФЕРЕНЦИ ЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

 

 

 

Д

ФУНКЦИИ ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ

ПЕРЕМЕННОЙ

 

 

4.1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ОСНОВНЫЕ ПРАВ ЛА

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

И

 

§ 34. Определение производной функции

Производной функции f (x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю (прил. 28).

Производная обозначается f (x0).

Пусть функция y = f (x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности, x – точка из этой окрестности. Введем обозначения: разность x – x0 обозначим через x и назовем приращением аргумента,

161

разность f(x) – f(x0) обозначим через y и назовем приращением функции (рис. 92).

С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

обозначен

 

 

 

 

 

 

 

иРис. 92

 

 

 

 

 

 

 

Введем

 

 

 

А

 

 

 

 

 

 

 

я: x= x – x0; y= f(x) – f(x0). Отсюда полу-

чаем равенства

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = x0 + x, тогда

y= f(x0 + x) – f(x0).

 

 

Итак,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x 0) lim

 

y

 

lim

f (x0

x) f (x0 )

lim

 

f (x) f (x0)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0 x

x 0

 

x

 

x x0

x x

0

 

Пример

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И

 

 

 

 

 

 

 

Д

Найти производную для функции f (x) = x 2 в точке x0 = 3.

 

 

 

f (3 x) f (3)

(3 x)2 32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

f (3) lim

x

 

 

x

 

 

 

x

0

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

9 6 x ( x)2 9

lim

6 x ( x)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

x 0

x

 

 

 

lim (6 x) 6.

x 0

162

Если производная f (x0) существует, то говорят, что функция f (x) дифференцируема в точке x0. Установим связь между дифференцируемостью функции f (x) в точке x0 и ее непрерывностью в этой точке. Напомним, что функция f (x) непрерывна в точке x0, если она определена в точке x0 и некоторой ее окрестности, и выполняется равенство

lim f (x) f (x0).

x x0

 

Переформул руем определение, используя понятия приращения

и

 

аргумента пр ращен я функции. Из приведенного равенства полу-

Счаем

 

бА

lim ( f (x) f (x0)) 0;

lim ( f (x0 x) f (x0)) 0;

x x0

x 0

lim y 0.

x 0

Другими словами, функция f (x) непрерывна в точке x0, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

 

Д

Теорема. Если функция f(x) дифференцируема в точке x0, то она

непрерывна в этой точке.

 

Замечание. Если в точке x0 функция f (x) непрерывна, то в этой

точке функция может и не иметь производной, что подтверждается

следующим примером.

 

 

 

И

Пример

 

 

 

 

 

 

непрерывна в точке x0=0, так как

Функция f (x)

 

x

 

 

 

lim

x

 

0

0

.

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Покажем, что эта функция не имеет производной в точке x0:

 

 

 

f

 

y

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

, но

 

 

(0) lim

 

 

 

 

 

x 0 x

x 0 x

 

163

 

x

 

1,

если x 0;

поэтому lim

 

 

x

 

 

1,

 

 

 

 

1,

если x 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0 0 x

 

 

 

а lim

 

x

1, значит, lim

 

x

 

не существует, т.е. f (x) не диффе-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0 0 x

 

 

 

 

 

 

 

x 0 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ренцируема в точке x0 = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Геометрический смысл производной

геометрический

смысл производной.

Рассмотр м

 

 

 

 

 

СНа р с. 93 зо ражен график непрерывной функции y = f (x).

 

 

б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x0 x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = f(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 93

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Точка M0 на графике имеетДкоординаты (x0, f (x0)), еще одна

точка графика M – координаты

(x0 +

x,

f(x0

+ x)). Прямая M0M

является секущей для линии y = f(x),

она наклонена к оси Ox под уг-

лом .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И

Пусть

f

 

(x0) существует, т. е.

lim

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

–

некоторое число. з

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

x 0 x

 

 

 

 

 

M0MА получаем, что

tg

(известно, что tg – угловой коэф-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

фициент прямой M0M). Если x 0, то точка M движется по графику функции y = f (x), приближаясь к точке M0, при этом секущая

164

M0M, поворачиваясь вокруг точки M0, стремится занять предельное положение, т. е. совпасть с касательной M0K, при этом ( – угол между касательной M0K и осью Ox); tg = tg .

Таким образом,

f (x0) lim

y

tg ,

но tg = k есть угловой

 

С

 

x 0

x

 

коэффициент касательной M0K.

 

 

 

 

Итак, угловой коэффициент касательной к графику y = f (x) в

точке с абсц ссой x0 равен производной функции f (x) в точке x0:

уравнение

 

 

 

 

 

 

 

f (x0) = k = tg .

 

В этом состо т геометрический смысл производной.

бА

Очев дно, что

 

касательной (рис. 94) имеет вид

 

y – f (x0) = f (x0)(x – x0).

 

 

Д

 

 

Рис. 94

И

 

 

 

Уравнение нормали (см. рис. 94) имеет вид

 

y – f (x0) =

 

1

(x – x0).

 

 

 

 

 

 

f (x0 )

 

Переходим к рассмотрению механического смысла производ-

ной.

165

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия