Материал: 2277

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

f(x0 + x) – f(x0) = f (c) x.	(12)
Равенства (11) и (12) называют формулами конечных прираще-

ний, а теорему Лагранжа – теоремой о конечных приращениях. При этом теорема Лагранжа переформулируется следующим образом:

Теорема Лагранжа. Приращение дифференцируемой функции на отрезке равно произведению длины отрезка на значение производной этой функц в некоторой внутренней точке отрезка.

ледств е теоремы Лагранжа (признак постоянства функ-

цииПусть x – про звольная точка отрезка [a, b], не совпадающая с a, тогда по формуле (11) конечных приращений применительно к отрез-

ции). Если функц я f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и во всех внут-

ренних точках этого отрезка f		(x) = 0, то функция f (x) постоянна на
С
отрезке [a, b].
Доказательство. Известно, что производная постоянной функ-

равна нулю. Докажем о ратное утверждение.

ку [a, x] меем
	f (x) – f (a) = f (x0)(x – a),
где x0 (a, x).	Так как, по условию, f (x0) = 0, то f( x) = f (a).
Следовательно, x [a, b]: f (x) = f (a) и поэтому f (x) – по-
стоянна на [a, b].
бА
Теорема Коши. Пусть функции f (x), g (x) непрерывны на отрез-

ке [a, b], дифференцируемы на (aД, b), причем f '(x) 0 для любой точ-

ки x из интервала (a, b). Тогда существует внутренняя точка x0 отрезка

[a, b], такая, что				И
[a, b], такая, что
	f (b) f (a)	=	f (x0)	.
(b) (a)		=	(x0)	.
(b) (a)			(x0)

Доказательство. Отметим, что f (b) f (a), так как в противном случае, по теореме Роля, f ' (x) = 0 в некоторой точке x (a, b).

Введем вспомогательную функцию

F(x) = f (x) – f (b) f (a)(f (x) – f (a))(b) (a)

186

и покажем, что F(x) удовлетворяет теореме Ролля. Очевидно, что F(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на (a, b) и

F'(x) = f'(x) – f (b) f (a) (x).(b) (a)

На концах отрезка [a, b] функция F(x) принимает равные значе-

ния:
С	F(a) = f (a); F(b) = f (a).
С
ледовательно, по теореме Ролля найдется точка x0 (a, b) та-
кая, что F' (x0) = 0:
		(x0) –		f (b) f (a)			)	= 0.

F'(x0) = f					(x
и				(b) (a)		0
				(b) (a)
Отсюда получаем, что			f (b) f (a) =		f (x0) .
			(b) (a)		(x0)
Посмотрите видео 7.
4.2. ДИФФЕРЕНЦИ Л ФУНКЦИИ, ЕГО СВОЙСТВА
бА
И ПРИЛОЖЕНИЯ

§ 39. Дифференциал функцииД

Пусть функция в точке x0 имеет производную. По определению,

f (x 0) lim		y	, поэтому по свойствам предела				y	= f(x0) + (x),

x 0		x					x
где – бесконечно малая при x 0. Отсюда
				И
			y = f (x0) x + x.
Второе слагаемое в равенстве x является бесконечно малой
высшего порядка по сравнению с x: lim				x		= lim (x)			= 0,
					x
			x 0				x 0
поэтому y	и f (x0) x – эквивалентные			бесконечно малые					[при

187

f (x0) 0].

Таким образом, приращение функции y состоит из двух сла-

гаемых, из которых первое

f (x0)

x является главной частью при-

ращения y, линейной относительно x [при f (x0)

0].

Дифференциалом функции f (x) в точке x0

называется главная

линейная часть приращения функции и обозначается dy или d f (x0)

(прил. 31).

ледовательно,

d f (x0) = f (x0) x.

Пр мер

д фференциал функции dy и приращение функции

для функц y = x 2

при:

1) про звольных x и x;

2) при x0 = 20;

x = 0,1.

Найти

+ 2x x + ( x)

– x = 2x x + ( x) ;

Решен е. 1) y = (x

+ x) – x

= x

dy = 2x x;

2) если x0 = 20; x = 0,1, то

y = 40 0,1 + (0,1)2 = 4,01;

d y = 40 0,1= 4.

бА

Запишем равенство y =

(x0) x + x

в виде

y = dy + x.

Приращение y отличаетсяДот дифференциала dy на бесконечно

малую высшего порядка по сравнению с x, поэтому в приближен-

ных вычислениях пользуются приближенным равенством

y dy;

y f (x0) x,

если x достаточно мало.

188

Учитывая, что y = f (x0 +

x) – f (x0), получаем формулу для

приближенных вычислений

f(x0 + x)

f(x0) + dy.

Или

f (x x0 ) f (x0 ) f (x0 ) x.

Пр мер

функцию

4,1.

Выч сл ть пр бл женно

Решен е. Рассмотр м

f (x) =

; x0 = 4; x = 0,1, тогда

= f(x0 + x). Используя формулу приближенных вычислений,

4,1

получ м

бА

= f(x0 + x) f(x0) + dy;

4,1

f(x0) =

=2;

dy = f'(x0) x =

0,1 =

0,1

= 0,025.

Значит,

4,1

2,025.

Геометрический смысл

дифференциала df (x0)

Проведем к графику функции y = f(x) касательную в точке M0 (x0, f (x0)), пусть – угол между касательной KM0 и осью Ox (рис. 99).

Тогда f ' (x0) = tg .

Из M0NP видим

PN = tg x = f'(x0) x = d f(x0).

189

y = f(x)

x0 x x

бА

Рис. 99

Но PN является приращением ординаты касательной при изме-

нении x от x0

до x0 + x. Следовательно, дифференциал функции f(x) в

точке x0 равен приращению ординаты касательной.

Найдем

дифференциал

функции

y= x.

Так как (x)' = 1, то

dx = 1 x = x. Получили: дифференциал независимой переменной x

равен ее приращению, т. е.

dx = x.

Если x – произвольное число, то из равенства df (x) = f (x) x

получаем

d f(x) = f (x) dx,

откуда

f (x) =

df (x)

, или f

(x) =

Таким образом, производная для функции y = f(x) равна отношению ее дифференциала к дифференциалу аргумента.

190

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия