Материал: 2277

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

x a(t sint);

sin t

(13)

1 cos t

Теперь вычисляем производную от функции, заданной форму-

лой (13).

= a (1 – cost);

sint

cos x 1 cos x sin x sin x

Сt

(1 cost)

1 cos x

cos x cos2 x sin2

cos x 1

1 cos x 2

cos x 1

1 cos x 2

Итак, вторая производная от параметрически заданной функции

– это параметрически заданная функция вида

x a(t sint);

cos t 1

бА

§ 41. Правило Лопиталя

Теорема Лопиталя (раскрытие неопределенностей типа

Д0

Пусть функции f(x), g(x) определены, непрерывны и дифференцируемы в точке x0 и некоторой ее окрестности, причем g'(x) 0 для любого x из этой окрестности, и пусть f(x), g(x) – бесконечно малые

при x x0.	Если предел		lim			f (x)	существует, то существует и
при x x0.	Если предел		lim			g (x)	существует, то существует и
	f (x)		x x0			g (x)
предел lim	f (x)	, причем
предел lim		, причем
x x0 g(x)
		lim		f (x)	= lim			f (x)	.
		x x0 g(x)				x x0		g (x)

196

Прием вычисления пределов, основанный на теореме Лопиталя,

называется правилом Лопиталя.

Пример			1 cos3x
Найти предел		lim	1 cos3x			.
Найти предел		lim				.
		x 0 2x
Решение. Поскольку функции f (x) =1 – cos3x; g(x) = 2x удовле-
творяют услов ю теоремы Лопиталя, то
lim	1 cos3x			= lim	(1 cos3x)			= lim	3sin3x	= 0.
x 0		2x		x 0			(2x)	x 0 2
С

Замечан я:

1. Теорема Лоп таля справедлива и при раскрытии неопреде-

да

. Неопределенности 1

;00 ; 0 ; и другие

ленности

сначала нужно прео разовать к виду

или

, а затем приме-

нить правило Лопиталя.

Пример

Найти предел lim x2 ln x.

x 0

бА

Решение. Так как limln x =

, то имеем неопределенность типа

x 0

lnx

(0 ). Преобразуем ее к виду

lim x2ln x (0 )= lim

x 0

1/x

Теперь применим правило Лопиталя:

lnx

(lnx)

1/x

lim

= lim

= 0.

x 0

1/x

2/x

И2

Итак, lim x2 ln x = 0.

x 0

197

2. Правило Лопиталя можно применять несколько раз при вычислении одного предела.

Пример

Найти предел lim lnx .

x 0 ctgx

0 и x > 0 limln x = ; limctg x = , следователь-

Решение. При x

x 0

но, имеем отношен е двух бесконечно больших при x 0+ и неопре-

деленность в да

. Вычислим предел по правилу Лопиталя:

ln x

1/x

sin2

x 0

lim

= lim

= –lim

1 sin2 x

x 0 ctgx

x 0

бx А(x)

и2sin xcosx

= –lim

=0.

x 0

3. Теорема Лопиталя верна и в случае, когда x .

4. Предел отношения двух функций может существовать, в то время как предел отношения их производных не существует.

Пример				Д
lim	x sin x	= 1, но	lim	(x sinx)	=	lim	(1 + cosx) – не суще-

x			x			x

ствует, так как lim cosx не существует.

5. Теорема Лопиталя остается верной и в случае, если

		lim	f (x)	= = .	И
		lim		= = .
Пример		x x0	g (x)
Пример	ex
Найти lim	ex	.
Найти lim		.
x x2
Решение. Имеем неопределенность вида					. Применяем теорему
Решение. Имеем неопределенность вида					. Применяем теорему

Лопиталя два раза, получаем

198

lim	ex	=	lim	ex	=	lim	ex	= .
x x2			x 2x			x 2

4.4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ

ГРАФИКА

§ 42.

Пр

менен е

дифференциального

исчисления

к исследован ю функций

I. Необход

мое

достаточное

условия

возрастания

функц

Функц я f (x)

называется монотонно возрастающей на проме-

жутке X,

x1 x2 : x1

,x2 X

выполнено условие f (x1) f (x2 ).

еслиФункц я f (x) называется монотонно убывающей на X, если

x1 x2 : x1 ,x2 X

выполнено условие

f (x1) f (x2 ).

Теорема (нео ходимое условие монотонности функции)

а) Если дифференцируемая функция f (x) монотонно возрастает

на промежутке

и производная f (x)

существует на

X , то

f (x) 0; x X .

б) Если дифференцируемая функция

f (x) монотонно убывает

, то

на промежуткебАи производная f (x) существует на

f (x) 0; x X

(прил. 32).

Доказательство

X . Будем счи-

а) Выберем две точки x и x x из промежутка

тать, что x 0. Тогда x x xДи, поскольку, по условию, функция

f (x) монотонно возрастает на промежутке X , то f x x f

x .

Значит,

приращение

функции

положительно:

y f x x f x 0.

f x x f

Рассмотрим теперь

отношение

которое положительно как отношение двух положительных функций. Предел положительной функции не может быть отрицательным, по-

этому lim	y	lim	f x x f x	0.

x 0 0 x		x 0 0	x

199

Поскольку

производная

равна пределу отношения вида и

f (x) lim

и предел не зависит от способа стремления xк ну-

x 0

лю, то

f (x)

lim

f x x f

lim

x 0 x

x 0

x 0 0 x

lim

x 0 0

Итак,

функц я монотонно возрастает на некотором проме-

жутке

д фференц руема

в каждой точке этого

промежутка, то

(x) 0 на этом промежутке.

еслиУтвержден е ) доказывается аналогично.

Теорема (достаточное условие монотонности функции)

а) Если

f (x) – д фференцируемая на

функция и

f (x) 0;

x X , то f (x)

монотонно возрастает на X .

f (x) 0;

б) Если

f (x) – дифференцируемая на

функция и

x X , то f (x)

монотонно у ывает на X .

Доказательство

X . Возьмем две

а) Пусть

f (x) 0 во всех точках промежутка

бА

x1 x2, т. е.

произвольные

точки

x1 и

из

X . Считаем, что

x2 x1

0. Запишем для отрезка x1 ; x2 формулу Лагранжа

f x2 f x1

f c x2

где с x1 ; x2 X .

Так

как

с X , то

по

условию,

f c 0,

x2 x1

–

по выбору точек, поэтому

x2 f

x1 0, или

x2 f

при условии

x2 x1,

что, по определению,

означает

возрастание функции на X .

Утверждение б) доказывается аналогично.

200

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия