Материал: 2277

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

§ 43. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

 

Наибольшее M и наименьшее m значения функции y f (x) на

отрезке находятся по плану:

 

 

 

 

С

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Найти критические точки первого типа.

 

 

2.

Выбрать те критические точки первого типа, что принадлежат

данному отрезку.

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Выч сл ть значения функции на концах отрезка и в выбран-

Найти

 

 

 

 

ных кр т ческ х точках.

 

 

 

 

 

 

 

4. Из всех найденных значений выбрать самое большое – это M

и самое малое – это m.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

бА

 

Пр мер

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

на

ольшее

и

наименьшее

значения функции

y x

3

3x

2

1 на

1;4

 

(рис. 105).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 105

И

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

Вычисляем производную y 3x2

6x, затем решаем уравне-

ние 3x

2 6x 0;

x

0; x

2

2 – нашли критические точки пер-

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

вого рода.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

x1 ; x2 1;4 . Обе критические точки принадлежат данному

отрезку.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Находим значения функции на концах отрезка и в критиче-

ских точках:y( 1) 3;

y(4) 17; y(0) 1; y(2) 3.

 

4.

yнаибольшее(4) 17;

yнаименьшее( 1)

y(2)

3.

211

§ 44. Схема исследования функции и построения графика

хема исследования функции и построения графика:

1.

Найти область определения функции.

2.

Выяснить, является ли функция чётной, нечётной или общего

С

 

 

 

 

 

 

 

вида.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Найти точки пересечения графика с осями координат.

4.

Найти ас мптоты графика функции (вертикальные, горизон-

тальные, наклонные).

 

 

 

 

 

Найти

 

 

 

5.

 

первую производную функции. Определить интервалы

возрастан я, убыван я, точки экстремума функции.

6.

 

вторую производную функции. Определить интервалы

выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика функции.

7.

На основан

 

 

проведённого исследования выбрать масштаб,

постро ть граф к функции.

 

 

 

 

 

Четность и нечетность функции

Функция

y f (x) называется четной, если y ( x) y x . Гра-

фик четной функции симметричен относительно оси Oy.

Пример

 

 

 

 

1

 

 

Функции y x2 ;

y cos x; y

–

четные.

 

 

 

 

 

 

Д

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

ФункциябАy f (x) называется нечетной, если y ( x) y x .

График нечетной функции симметричен относительно начала коор-

динат.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример

 

 

 

1

 

 

Функции

y x

3

;

– нечетные.

 

y sin x; y

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

Асимптоты графика функции

Прямая x a

 

называется вертикальнойИасимптотой кривой

y f (x), если

lim

 

f (x) или

 

lim

f (x) .

 

 

x a 0

 

 

x a 0

Прямая x a может быть вертикальной асимптотой графика функции, только если при x a функция не определена.

212

Прямая

y =

kx+ b

является наклонной асимптотой

кривой

y f (x), если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k lim

 

f (x)

;

b lim

( f (x) k x) .

 

 

 

 

 

x

 

x

 

 

 

 

x

 

 

Замечание. Функция

y f (x)

может иметь разные правую и

левую наклонные ас мптоты.

 

 

 

 

 

 

Частным случаем наклонной асимптоты является горизонталь-

Сная ас мптота. Прямая y b является горизонтальной асимптотой,

k 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b lim f x 0.

 

еслиx

 

 

 

 

 

Замечан я:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Функц я y f (x)

может иметь разные правую и левую гори-

зонтальные асимптоты.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Функция

y f (x)

не может иметь одновременно и наклон-

ную и горизонтальную правую (левую) асимптоты.

 

Пример

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти асимптоты линии y = e x – x.

 

 

бАx

 

Решение. Функция f (x) =

e

– x

определена, непрерывна на интервале

(– , + ), поэтому вертикальных асимптот нет.

 

Найдем наклонные асимптоты, для этого вычислим пределы:

 

 

 

 

 

 

f

(x)

 

 

x

 

 

 

 

k

 

 

 

Дe

 

 

lim

 

 

= lim

(

x

 

– 1) = ,

 

 

ex

 

x

 

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

что при x

 

так как lim

 

= . Отсюда следует,

правой

 

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И

наклонной асимптоты нет.

 

 

 

 

 

 

Так как lim ex x , то правой горизонтальной асимптоты

x

у функции нет.

Ищем левые наклонные асимптоты:

213

 

 

 

f (x)

 

 

 

 

ex

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ex

 

 

 

 

 

k lim

 

 

= lim

(

 

 

 

– 1) = –1, так как

lim

 

 

 

= 0, отсюда k = –1.

x

 

x

 

 

 

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x

 

lim e x = 0, зна-

 

 

Далее, b lim

(f(x) – k x) =

lim (e x – x + x) =

чит, b = 0.

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

y = – x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, прямая

 

 

есть левая

наклонная асимптота при

x для графика функции y = e x – x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Левой гор зонтальной асимптоты нет, так как есть левая на-

клонная ас мптота.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

меры:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С

сследование

функции и

 

построить ее

график:

1.

 

 

 

 

y x3 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

ласть определения: х 0.

 

 

 

 

 

Решен е. 1. Наход м

 

 

 

 

 

 

 

 

Провести

 

 

f ( x)

x

3

4 f (x),

следова-

 

 

2.Исследуем

на

 

четность.

 

тельно, это функция о щего вида.

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Находим точки пересечения графика функции с координат-

ными осями:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3 4 0,

 

 

 

 

 

 

 

c осью

Ох:

 

y = 0,

поэтому

 

x 3

 

. Точка

 

 

4

(3

 

;0) – точка пересечения графика с осью Ох;

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

сбосью Оу: x = 0;Аy не существует.

 

 

 

 

 

 

 

4. Находим асимптоты графика функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сначала исследуем функцию на непрерывность. Функция опре-

делена и непрерывна при

всех х 0. Точка х = 0

– точка

разры-

ва 2-го

рода,

так как

 

3

 

 

 

 

Д3

 

 

 

lim

y lim

x

 

4

;

lim

y lim x

4 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0 0

 

x 0 x2

 

 

 

x 0 0

x 0 x2

 

 

 

 

 

 

Так как в точке

 

х=0

функция имеет бесконечный разрыв, то

прямая х = 0 является вертикальной асимптотойИ.

 

 

Наклонные асимптоты ищем в виде y = kx + b.

 

 

 

 

 

 

 

 

k lim

f (x)

 

 

x3 4

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

lim 1

 

 

1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

x x

 

 

x x3

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

214

 

 

 

 

 

 

 

 

x3 4

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

b lim(f (x) kx) lim

 

 

 

 

 

x

lim

 

 

0.

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x

 

 

 

x x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наклонная асимптота у = х.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С

интервалы монотонности функции и точки экстре-

 

5. Находим

 

мума с помощью первой производной. Исследование оформляем в

 

виде табл. 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 3

 

Определяем кр т ческие точки 1-го рода:

y

1 x3

; y = 0

 

 

 

х = 2; у = при х = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Точка х = 0 не может ыть критической точкой функции, так как

 

 

 

 

бА

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в этой точке функц я не определена. Точка x

2

– критическая точ-

 

ка 1-го рода.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

(- ,0)

 

0

 

 

 

 

 

(0,2)

 

 

 

2

 

 

 

(2,+ )

 

 

 

y

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

–

 

 

 

 

0

 

 

 

+

 

 

 

y

 

 

 

Возрастает

 

Не

 

 

 

 

Убывает

 

 

 

3

 

 

 

Возрастает

 

 

 

 

 

 

 

 

 

существует

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, точка (2, 3) является точкой минимума. Экстремум функ-

 

ции ymin 3.

 

 

Д

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Находим

интервалы

выпуклости и точки перегиба графика

 

функции с помощью второй производной.

И

 

 

 

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

x4 > 0 при любом х 0, следовательно,

функция

вогнутая

на всей области определения.

7. Построим график функции, начертив сначала наклонную асимптоту , отметив точку экстремума и точку пересечения с осью Ох

(рис. 106).

215

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия