Материал: 2277

(x 2)2

(y 3)2

1.

12

1 3 2

С

и полуосями

Это уравнение эллипса с центром в точке ( 2,3)

1, 1 3 (рис. 31).

и

бА4 3

Рис. 31

x2

Д

2

2

1.

Чтобы найти координаты фокусов,

воспользуемся

формулой

связи

параметров

гиперболы

c2 a2 b2 .

Откуда

c a2

b2

42 32 5,

т.е. F (0; 5),

F (0;5).

1

2

3.

Найти

проекцию

фокуса

параболы

y2 4x

на прямую

С

:

x 1

y 3

.

2

1

Решен е. Из уравнен я параболы имеем p 2, т.е. координаты фоку-

са F(2,0). Проекц я F на

– точка пересечения и прямой 1, про-

и

(рис. 33).

веденной з F

перпенд кулярно

бА

Рис. 33

Составим уравнение прямой 1, используя критерий перпенди-

кулярности прямых

1 : 2x y 4 0.

И

Координаты искомой точкиДx , y пересечения прямых и

1

0

0

должны удовлетворять их уравнениям, т.е.

x0, y0

– решение системы

x

0

1

y

0

3

;

2

1

4 0.

2x0 y0

С

например, по формулам Крамера:

2

1

5,

1

4

1

15,

2

2

4

10,

1

2

7

2

1

7

натами

2

x

1 3,

y

2.

0

0

бА4 x 2x 9 y 4y 4 0;

Следовательно, проекцией фокуса параболы на прямую является

точка с коорд

3,2 .

4. Какую л н ю определяет

уравнение 4x2 9y2 8x 36y

4 0 ?

2

2

И

4 x 1

Д9 y 2 36;

x 1 2

y 2 2

1.

9

4

2

2

5

2 x

4x 2 y

y

4 0;

2

2

2

5

25

25

2 x

4x 4 8 2 y

y

4 0;

2

16

8

и

5 2

С

2

121

2 x 2

2 y

4

8

;

бА

2

5

2

121

x 2

y

4

.

16

5

Это уравнение окружности с центром

2;

4

, радиусом

11

.

Д

R

121

16

4

6. Какую линию определяет уравнение x2 y2 16y 0?

Решение. Эта кривая может быть гиперболой или особым случа-

ем.

И

С

x2

4x 4 4 4y2 100 0;

x 2 2 4y2

2

2

96.

Такое равенство невозможно, получили исключительный (осо-

разделим

бый) случай – пустое множество точек.

8. Назвать кр вую, построить

24x

49y

1176.

Решен е. Для построен я кривой приведем ее уравнение к канониче-

обе

скому в ду. Для этого

части равенства на 1176. Имеем

x2

y2

1 – канон ческое уравнение

эллипса с

центом в точке

49

24

О(0,0).

А

Найдем параметры эллипса.

Большая полуось а=7, малая полуось b=

. Вершины эллипса:

24

(7,0), (–7,0), (0,

), (0, – 24); с

a2

b2

5. Фокусы

24

49 24

эллипса: F1(5,0) и F2(–5,0). Эксцентриситет эллипса

5

(рис. 34).

7

И

24

F2

F1

-7

-5

Д

0

5

7

x

24

Рис. 34

9. Назвать кривую, построить

24x2 49y2

1176.