Материал: 2277

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

 

 

 

 

 

 

 

 

x x0 2 y y0 2 R2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где x0, y0 центр окружности;

R радиус.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Параметрическое уравнение эллипса с центром в начале коор-

С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

динат

 

 

 

 

 

 

 

 

x acost;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y bsint.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Параметр ческое уравнение окружности с центром в начале

коорд нат

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

бА

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x Rcost;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y Rsint.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ч сло

с

 

называется эксцентриситетом эллипса.

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

c2

 

a2 b

2

 

 

 

b

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

b

2

 

 

Так как

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

, то

1

 

 

 

, 0 эл 1.

 

 

 

a2

a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д

кали.

Чем больше эксцентриситет, тем сильнее сжат эллипс по верти-

 

Оптическое свойство эллипса.

Касательная к эллипсу образу-

ет равные острые углы с фокальными радиусами.

ругими словами,

лучи света, исходящие из одного фокуса эллипса,

после зеркального

отражения от эллипса проходят через второй фокус.

 

 

 

 

 

§21. Гипербола

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости,

для каждой из которых разность расстоянийИдо двух фиксированных

точек – фокусов есть величина постоянная, равная 2a (прил.15).

 

Пусть F1, F2

 

– фокусы.

 

F1F2

 

2c – расстояние между фокуса-

 

 

 

 

ми. Если M точка на гиперболе, то

 

 

 

 

F1M

 

 

 

F2M

 

 

 

2a, c a .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

86

Если координаты фокусов F1 c;0 ; F2 c;0 , то уравнение гиперболы примет вид

x c 2 y2

x c 2 y2

2a.

С

 

 

 

 

 

После преобразований приходим к каноническому уравнению

гиперболы с центром в точке О:

 

 

 

 

x2

 

y2

 

1.

 

a2

c2 a2

 

 

 

Обознач м c2 a2

b2

(связь параметров гиперболы), получим

бА

уравнен е

 

 

 

 

 

иx2

y2

1,

 

 

a2

b2

 

 

где a,b полуоси гипер олы (рис. 28).

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

Д

 

 

 

 

b

x

 

F1

 

a

 

a F2

 

c

 

 

 

c

 

 

 

 

b

И

 

 

 

 

 

Рис. 28

Прямые y b x являются асимптотами гиперболы. a

87

Если центр гиперболы смещен в точку x0, y0 , то уравнение принимает вид

С

 

x x0 2

 

y y0 2

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2

 

 

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение вида

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x0 2

 

y y0 2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ветви

 

 

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2

 

 

 

 

 

определяет г пер олу,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

которой направлены вверх и вниз: .

 

 

бА

 

Ч сло

с

называется эксцентриситетом гиперболы. Так как

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

c2

 

a2

b2

b 2

 

 

b

2

 

 

 

a2

 

a2

1

 

 

, то

1

 

; гип 1.

 

 

 

 

 

a

 

 

a

 

Чем меньше эксцентриситет,

тем сильнее сжата гипербола по

вертикали.

 

 

 

 

 

 

 

 

Д

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оптическое свойство гиперболы. Касательная к гиперболе об-

разует равные

острые углы с фокальными радиусами и проходит

внутри угла. Другими словами, лучи света, исходящие из одного фокуса гиперболы, после зеркального отражения от гиперболы идут так, как если бы они вышли из второго фокуса.

для каждой из которых расстояние до точки–Ифокуса равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой – директрисы (директриса не проходит через фокус) (прил. 16).

§22. Парабола

Параболой называется геометрическое место точек плоскости,

Расстояние от фокуса F до директрисы равно p. Введем систе-

му координат так, чтобы фокус F

имел координаты

p

; 0

 

, а урав-

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

88

нение директрисы было x p (рис. 29). Получаем уравнение пара- 2

болы

С

 

p 2

 

2

 

 

p

 

 

x

2

 

 

y

 

x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

y2

Его можно преобразовать к каноническому уравнению параболы

2px.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

бА

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M x,y

 

 

 

p 2

 

 

 

p 2

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 29

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д

 

Если p 0, ветви параболы направлены вправо.

 

 

Если p 0, ветви направлены влево.

 

 

 

 

 

Если вершина параболы – точка x0, y0 , то уравнение параболы

 

 

y y

 

2

 

2p x x

 

И

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

Уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

2py

 

 

 

 

определяет параболу, у которой ветви направлены вверх или вниз. Эксцентриситет параболы пар 1.

Оптическое свойство параболы. Касательная к параболе обра-

зует равные острые углы с фокальным радиусом и лучом, параллельным оси параболы и идущим в сторону ветвей параболы. Другими

89

словами, лучи света, исходящие из фокуса параболы, после зеркального отражения от параболы идут параллельно оси параболы.

Зависимость вида кривой от эксцентриситета

С

 

 

 

Изобразим, как меняется вид кривой второго порядка в зависи-

мости от экцентриситета (рис. 30).

Окружности

 

Параболы

Эллипсы

 

 

Гиперболы

 

 

 

 

 

 

 

ε

 

 

 

 

0

1

 

 

 

Рис. 30

бА

Пр меры:

 

 

 

1. Пр вести к каноническому виду уравнение и построить кри-

вую x2 4x 9y2 54y 84 0.

 

Решение. Так как x2 и

y2

входят в уравнение с одинаковыми

знаками, но разными коэффициентами, то оно описывает эллипс или особый случай. Сгруппируем слагаемые следующим образом:

 

 

 

 

 

 

(x2

Д

 

 

 

 

 

 

4x) 9(y2

6y) 84 0

и,

используя

известную

формулу

выделения полного квадрата

 

2

 

p 2

p 2

 

 

x

 

px x

 

 

 

,

выделим в выражениях в скобках полные

 

 

 

 

 

2

 

2

 

И

 

 

 

 

квадраты:

(x 2)2 22 9 (y 3)2 32 84 0.

После преобразований получим

(x 2)2 9(y 3)2 1

90

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия