Материал: 2277

y

2

1

С

O

1 2

x

Рис. 22

Используем тр гонометрическую формулу

бА

tg tg

tg

2 tg 1

.

и2

1

1 tg 1tg 2

Так как, по определению углового коэффициента, tg =k, то

tg

k2 k1

,

.

1

2

1 k k

2

1

Д

Это формула для нахождении угла между прямыми.

Наличие модуля в формуле позволяет находить сразу острый

угол между прямыми.

Следствием этой формулы являются условия параллельности и

перпендикулярности прямых.

И

Условие параллельности прямых

1 || 2 k1 k2 .

Действительно,

если 1 || 2 ,

то 1 2 0; tg = 0. То есть

0

k1 k2 .

tg 1, 2

k2 k1

1 k k

2

1

Действительно, если

= 900 , tg900 не суще-

1

2

, то =

2

1

ствует. То есть tg

k2 k1

не существует

знаменатель

,

1

2

1 k k

2

1

дроби не определен

k1k2

= – 1.

причем

С2) О щее уравнение прямой

Всякое уравнен е первой степени вида

Ax By C 0 (где

общим

A,B,C – постоянные,

A2

B2 0) определяет на плоскости

прямую. Это уравнен е называется

уравнением прямой.

Частные случаи:

А

1. Прямая, определяемая уравнением Ax By 0 (С = 0, урав-

нение можно прео разовать к виду y kx),

проходит через начало

координат.

2. Прямая, определяемая уравнением y b (

= 0), параллельна

оси Ох. Прямая, определяемая уравнением y 0, это ось Ох.

x

Дy

3. Прямая, определяемая уравнением

x a (В

= 0), параллельна

оси Оу. Прямая вида x 0

это ось Оу.

4. Если A 0;

B 0; C 0, то уравнение можно преобразовать

к виду уравнения прямой «в отрезках»:

И

1.

a

b

b

Рис. 4

С

a

0

x

Рис. 23

Расстояние от точки до прямой

рисd

0

2

0

2 .

и точку M0

x0

, y0

Рассмотр м прямую

Ax

By

C

0

( . 24). Расстоян е от точки до прямой находят по формуле

бА

Ax By

C

A B

d

M0 x0,y0

Д

Ax+By+C=0

Пусть на прямой даны две точки: M0 x0, y0 и M x,y . Тогда

векторы r0 = OM0

и r =OM называютсяИрадиусами-векторами точек

Определим теперь угловой коэффициент k

прямой. По усло-

вию, прямая параллельна прямой y 2x 4, поэтому, используя кри-

терий параллельности прямых,

находим,

что k 2.

Подставляем в

уравнен е: y 1 2x 4 2x 4 y 1 0 2x y 5= 0 – нашли

уравнен е прямой, параллельной данной.

Если

скомая прямая перпендикулярна данной,

то, из критерия

Спрямых

1

2

k

k

2

1,

находим

k

1

.

1

2

1

Подстав м найденное значение k

в уравнение

y 1 k x 2 ,

1

2

ортогональности

– это

получ м

y

1

2

x 2 x 2 2y 2 0 x 2y 0

уравнен е прямой, перпендикулярной прямой y 2x 4.

Определим далее угловой коэффициент прямой, проходящей

под

углом

45

к

данной

прямой

y 2x 4,

по

формуле

k2 k1

.

Подставляя

в

эту

формулу

= 45 ,

получим

tg

1 k1k

2

бА

2 k1

1

(так как угловой коэффициент данной прямой k 2).

1 2k1

k 1

Имеем

1 2k

2 k

или

k

3.

Тогда

1

1

1

3

1

y 3x 5 0 и

3y x 5 0

–

Д

уравнения прямых, проходящих под

углом 45

к данной.

проходящей через точки A1 5, 1 и

2. Найти уравнение прямой,

точки

y y0

x x0

:

y1 y0

x1 x0