Материал: 2277

2 5

5 1

3

6

2 x y 9 0.

3. Найти угол между прямыми y 3x и y 2x 5.

С

Решение. Для вычисления угла между прямыми используем формулу

tg

k2 k1

. Так как k

3;

k

2

2, то tg

3 2

5

1. От-

1 k1k2

1

1 6

5

сторонууравненияАС;

сюда

arctg

1

1

45 .

4

4. Заданы верш ны

треугольника

АВС:

A(3,1), B(1,7),С(6,3).

Требуется:

б

АВС;

1) состав

ть

всех сторон треугольника

2) состав ть уравнение высоты, опущенной из вершины В на

3) состав ть уравнение медианы, проведенной из вершины С;

А

4) найти расстоян е от вершины

С до стороны АВ;

5) найти угол между сторонами

С и В;

6) вычислить периметр треугольника

ВС.

Решение. Построим в декартовой системе координат треугольник

АВС с заданными координатами вершин (рис. 26).

y

B

Д

И

M

H

C

A

o

x

Рис. 26

1) Для нахождения уравнения сторон треугольника воспользуем-

ся уравнением прямой, проходящей через две точки

x x1

y y1

.

x2 x1

y2 y1

Уравнение

прямой

АВ:

x 3

y 1

,

или

x 3

y 1

,

или

6x 2y 20 0.

1 3

7 1

2

6

x 3

y 1

x 3

y 1

Уравнение

прямой

АС:

,

или

,

или

С

6 3

3 1

3

2

3y 2x 3 0.

x 1

y 7

x 1

y 7

Уравнен е прямой ВС:

,

или

, или

4x 5y 39 0.

6 1

3 7

5

4

сти

2) Пусть АН

– высота, опущенная из вершины А на сторону ВС.

Найдем ее уравнен е в виде y y0

k x x0 . Так как высота опуще-

на из точки А,

то x0

xA 3; y0

yA

1. Воспользуемся теперь урав-

бА

нением стороны

ВС

: 4x

5y 39 0 и условием перпендикулярно-

прямых

1

2

k k

2

1. Найдем, что

x 1

y 7

– уравне-

1

4

5

ние высоты АН.

3) Пусть АМ – медиана, проведенная из вершины С на сторону

АВ. По определению медианы, точка М делит отрезок АВ пополам.

Координаты середины отрезка находим по формулам

xM

=

xA

+ xB

=

3+1

= 2;

Д

2

2

yM

= yA + yB

=

1+7 = 4.

2

2

Для нахождения уравнения медианы СМ воспользуемся уравне-

нием прямой, проходящей через две точки:

x x1

y y1

. Так как

x2 x1

y2 y1

С(6,3),

M(2,4), то

x 6

y 3

или

x 6

y 3

– уравнение медиа-

4

2 6

4 3

1

ны СМ.

И

4) Расстояние от вершины С до стороны АВ находим по формуле

d

Ax0

By0 C

. Так как

6x 2y 20 0– общее уравнение сторо-

A2 B2

ны АВ,

то А=6; В=2; С= –20; x0 xC 6; y0

yC 3. Тогда

в) одну прямую, пару пересекающихся прямых, пару параллель-

ных прямых [например,

(4x +5y +3)2

= 0; x2 y2

0; x2

A2].

Итак, кривые второгопорядка – это эллипс, гипербола, парабола.

Посмотрите видео 3.

Эллипс

Элл псом называется геометрическое место точек плоскости,

для каждой з которых сумма расстояний до двух фиксированных то-

чек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а

С

(

.14).

F1F2

2c – расстояние между фокуса-

Пусть F1,

F2 – два фокуса.

ми.Если M – про звольнаяточкаэллипса,то

F1M

F2M

=2a 2c.

Введем с стему координат так, чтобы фокусы F ,

F находи-

прил

относительно

1

2

лись

на оси

Oх

с мметрично

начала

координат

(рис. 27).

Составим уравнение эллипса:

2a.

x c 2 y2

x c 2 y2

Отсюда

бА

2 2

x c

y2 2a

x c y

2 .

Преобразуем. Возведем обе части в квадрат:

Д

x c 2 y2 4a2 4a x c 2 y2 x c 2 y2,

И

a2 cx a

x c 2 y2

.

Возведем еще раз в квадрат и перегруппируем:

a4 c2x2 a2x2 a2c2 a2 y2,;

a2 c2 x2 a2 y2 a2 a2 c2 .

После преобразований приходим к уравнению

С

x2

y2

1.

a2

a2

c2

Обознач м a2 c2

b2 ,

получим каноническое уравнение эллип-

са с центром в начале координат

иx2

y2

1,

a2

b2

где a,b,c параметры эллипса, причем a2

c2 b2 ; a,b полуоси.

y

b

бА

F1

F2

x

a

c,0

c,0

a

b

Д

Рис. 27

Если центр эллипса находится в точке x0, y0 , то уравнение эл-

липса имеет вид

И