Материал: 2277

xa

ya

za

a

b

c

xb

yb

zb

,

xc

yc

zc

С

b xb,

, zb ;

где

a

xa ,

ya, za ;

yb

c

xc ,

yc, zc

координаты

векторов.

Доказательство. По определению,

a

c

a

(

c

).

b

b

yb

zb

xb

zb

xb

yb

По теореме § 15,

b c i

j

k

.

yc

zc

xc

zc

xc

yc

бА

По теореме § 14,

и

xa

ya

za

a

b

c

xa

yb

zb

ya

xb

zb

za

xb

yb

xb

yb

zb

.

yc

zc

xc

zc

xc

yc

xc

yc

zc

Критерий компланарности

Д

a

,b,

c

Векторы

компланарны тогда и только тогда, когда

a

c 0.

Примеры:

b

1. Найти смешанное произведение векторов

a

2i

j k; b i 3 j k ;

с

i j 4k .

Решение.

И

2

1

1

3

1

1

1

1

3

a

bc

1 3

1

2

1

1

26 5 2 33.

1

4

1

4

1

1

1

4

1

2. Показать, что векторы

a

5

7

;

;

j

k

b

j

k

2i

i

2

5

7

1

1

1

1

1

1

a

bc

1

1

1

2

5

7

8 15 7 0.

2

2

1

2

1

2

1

2

2

Так как

a

bc

0, то векторы компланарны.

С

3. Найти о ъём треугольной пирамиды с вершинами A 2,2,2 ;

B 4,3,3 ; C 4,5,4 ; D 5,5,6 .

(все векторы должны исходить из одной точки).

рамиды

AB 2,1,1 a;

AC 2,3, 2

;

3,3, 4

c

.

b

AD

1

б

Так как Vпир

a bc , найдём смешанное произведение

6

2

1

1

3

2

2

2

2

3

А

a bc

2 3

2

2

2 6 1 2 1 3 7.

4

1

3

4

1

3

3

3

4

3

3

ед.3

.

V

1

7

7

пир

6

Д

6

Вопросы и задания для самопроверки по теме

«Векторная алгебра» ([1,2,3,5,8,9], прил. 8 11)

1.

Что называется геометрическим вектором?

2.

Что называется длиной геометрического вектора?

С

3.

Какие векторы называются одинаково направленными?

4.

Какие векторы называются коллинеарными?

5.

Дайте определение сложения двух геометрических векторов.

6.

Определ те умножение геометрического вектора на число.

координаты

7.

Что называется проекцией вектора на ось?

8.

Какая с стема векторов называется линейно независимой?

9.

Как е векторы называются компланарными?

29.

Как вычисляют через координаты векторов их векторное

произведение?

30. Поясните геометрический смысл векторного произведения.

31.

Чему равно векторное произведение i

j?

32.

Какие векторы называются компланарными?

С

33.

Какая упорядоченная тройка векторов называется правой?

34.

Определите смешанное произведения векторов.

терий

36.

Каков геометр ческий смысл смешанного произведения век-

торов?

37. Зап ш те кр

компланарности трех векторов.

38.

Чему равно смешанное произведение базисных векторов

бА

i, j, k ?

39.

Чему равно векторное произведение двух коллинеарных век-

торов?

40.

Чему равно скалярное произведение двух коллинеарных век-

торов?

Экспресс-тест по теме «Векторная алгебра»

1.

Является ли вектором сумма двух векторов?

2.

Равна ли 1 длина вектора

a

(1; 2; 2)?

3.

Разложение вектора

a

(1; 2; 2) в базисе i

; j;k равно

cos

1

; cos

1

; cos

1

?

2

2

2

12.

Образуют ли векторы

a

(1; 2;3) и b (3;0;2) базис в

пространстве?

13.

Верно ли, что

a

?

b

b

14.

мешанное произведение векторов

a

,

b

и 2

a

+3

b

равно 0?

15.

Коллинеарные векторы являются компланарными?

16.

Компланарные векторы коллинеарны?

17.

Векторы

a

(1; 2);

( 2;0);

c

( 1;4) образуют базис в

b

пространстве?

18.

a

(3

2

a

)?

b

b

равен 1?

19. Орт вектора k

С

j равна 2?

20.

Верно ли, что длина вектора i

21.

Равно ли нулю произведение

a

a

?

22.

Векторы a (0;5) и

(5;0) образуют базис на плоскости?

b

получ ть верное равенство:

i 0;

) i i 1?

а) i

25.

Смешанное произведение трех векторов является вектором?

26.

Верно ли

k

i

j?

27.

Верно ли утверждение

a

||b ?

b

Да

ОтветыбА: 1. Да. 2. Нет. 3. Да. 4. Нет. 5. Нет. 6.

а.

7. Да. 8. Да.

9. Нет. 10.Да. 11.Да.

12.Нет.

13. .

14.

а.

15.

а.

16.Нет.

17. Нет.

18. Да. 19. Нет. 20. Нет. 21. Да.

22.

а.

23.

а. 24. а) можно;

векторное произведение;

б) можно; скалярное произведение. 25. Нет.

26. Нет.

27. Нет.

ПЛОСКОСТИ