Материал: 2277

o

a

3

4

12

Поэтому a

i

j

k.

a

13

13

13

§14. калярное произведение векторов

С

калярным произведением векторов

a

и b (прил. 11) называет-

ся число, равное

или

а

b

a

b

cos

a

,b ,

ab

a

проекц

яbна

a

Пр

a

a

Пр

.

b

a

b

b

бАa

a

a

Свойства:

ab ba (коммутативность);

a b

ab

(сочетательность);

a

c

a

a

c

(дистрибутивность).

b

b

Д

Действительно,

a

b

c

a

Пр

b

c

a

Пр

b

Пр

c

a

Пр

a

Пр

c

a

a

c .

И

a

b

a

b

Критерий перпендикулярности (ортогональности)

векторов

a

a

0.

b

b

Основное использование

1.

a

a

a

2;

a

нахождение длины вектора.

a

a

ab

2. cos

a

,

нахождение угла между векторами.

b

a

b

Теорема

(вычисление скалярного

произведения). Если

a

x1, y1, z1

и

x2, y2, z2 два вектора,

то их скалярное произ-

b

ведение находится по формуле

a

x1x2 y1 y2 z1z2.

b

ции

a

, b в виде линейной комбина-

Доказательство. Запишем векторы

Сбаз сных векторов:

a x1i y1 j z1

k

,

b

x2i

y2

j

z2

k

.

Тогда

бА

Д

Здесь использованы скалярные произведения базисных векторов:

i

j

i

k

j

k

0, т. к. i

j

k

; i

i

i

2 12 1;

j

j

1;

k

k

1.

Примеры:

И

1. Найти скалярное произведение векторов

a

3i

4 j 7k и b 2i 5 j 2k.

Решение. Находим

a

3 2 4 5 7 2 0. Так как скалярное

b

произведение векторов

a

0;

a

0;

0, то

a

. Векторы

a

и

b

b

b

b

ортогональны.

Решение.

Находим

скалярное

произведение

этих

векторов:

a

4m 3m 28 0.

Так как

a

, то

a

0. Отсюда

7m 28 0,

b

b

b

m 4.

3. Найти 5

a

3

2

a

,

если

a

2;

3;

a

.

b

b

b

b

С

Решение.

5

a

3

2

a

10

a

2

5

a

6

a

3

2

b

b

b

b

b

10

a

2

a

3

2 10 22 0 3 32 40 27 13.

b

b

и

a

2

a

2 22;

Здесь

спользованы свойства

a

b 0 при

a

b.

4. Определ ть угол между векторами

бА