Материал: 2018

n 1

n

1

1

2

2 3

3

2

3

3n

lim

3n

lim

6,

1

n

n 1

n

n

1

1

2

3

1

3n

3n

солютно сходящ мся.

и

Пр мер 4. Исследовать данный ряд

С

n 1

2

2

4

2n

1

1 n 1

. (1.30)

n 1

2n 1

3

5

2n 1

1 0бА, т.к. lim 0.

Решен е.

Исследуем данный ряд на абсолютную сходимость.

Для этого рассмотр м ряд, состоящий из абсолютных величин

2n

2

4

2n

.

3

5

2n 1

n 1 2n 1

Имеем

lim a

n

lim

2n

lim

2n

lim

2

2

1

2

n

n 2n 1

n 2n 1

n

2

1

n

Таким образом, не выполняется необходимое условие сходимо-

сти ряда, мы заключаем, что ряд (1.30) расходится. Значит, исходный

ряд не является абсолютно сходящимся.

Исследуем

его на условную

сходимость. Проверим выполнениеДпервого условия признака сходи-

liman

lim

2n

1 0.

n

n

2n 1

n n

С

ряд

a a

2

a

3

1 n 1a

n

1

сходиться не может.

если

Задачи для решения в аудитории

бА

Задача. Исследовать на а солютную и условную сходимость ряд

an ,

:

n 1

а)

( 1)n 1 2n 1

)

n 1 1 n 1

n2

an

;

an

( 1)

3

n

n

;

в)

n2

г)

5

2n 1

1

;

a

n

( 1)n

;

an

( 1)n 1

n!

д)

е)

n 3 lnn 8

n 1

2n 1

2n

Д

un ( 1)nen2 1 ;

an ( 1)

n

2

;

ж)

an

( 1)n 1 n2

2n 1

.

Ответы

И

6. а) Ряд сходится условно, б) ряд сходится абсолютно, в) ряд сходит-

ся

абсолютно,

г)

ряд

сходится условно,

д)

ряд расходится,

е) ряд сходится условно, ж) ряд сходится абсолютно.

1 n 1

1 n 12n n

5.01

;

5.02

;

2n 1

n 1 2n 1

n 1

1 n 1n

1 n 1

5.03

;

5.04

;

n!

n 1

n 1

2n 1

и

1 n 1n

1 n 1

С5.05

;

5.06

2n

;

n 1 n2 1

n 1

1 n 1 2n 1

1 n 1

5.07

n n 1

;

5.08

;

n 1

n 13 n2 1

n 1

1 3n

n 1

5.09

1

;

5.10

5

;

n 1

5n 1

n 1

n!

1 n 1n

2 n 1

5.11

;

5.12

;

n2 6

n 1

n 1 2n n

1 n 1n

2 n 1

5.13

;

5.14

;

n2 8

Д

n 1

n 1

2 3n

n 1

2

n 1

n

2

б1 n А1

5.15

;

;

5.16

n 7

n 1 3n2 1

n 1

5 n 1

1 n 1

5.17

;

n

5.18

;

n 15n 1 1

И

n 1

8n 7

n 1

n

n 1

5.19

1

;

5.20

4

;

n 1 n4 1

n 12n 1 2

n 1

n 1 n

1 n 1

5.21

1

;

5.22

;

2n 1

2

4

n 1

n 1 n

n 1

4n 5

1 n 1

5.23

1

;

5.24

;

n 1

5n 4

n 1 3n 7

5.25

1 n 1

.

n 13 2n 1

Вопросы и задания для самопроверки

1.

Что называется числовым рядом, общим членом ряда?

2.

Дайте определение сходящегося и расходящегося ряда.

3.

Необходимый признак сходимости ряда. Приведите пример,

С

показывающий, что он не является достаточным.

4.

формулируйте теорему о сравнении двух рядов с положи-

тельными членами.

5.

Докаж те пр знак Даламбера.

определение

6.

формул руйте признак Коши.

7.

формул руйте интегральный признак.

7.

Какой ряд называется знакочередующимся?

8.

формул руйте

докажите признак Лейбница.

;

un

бА; un 3 3

9.

Дайте

а солютной и условной сходимости рядов.

Контрольная ра ота по разделу «Числовые ряды»

1. Исследовать на сходимость 2.

Исследовать

на сходимость

ряды

un ,

используя при-

ряды

un , используя при-

n 1

n 1

знаки сходимости:

знаки сходимости:

2

Д2

3n 4

n

2

n 2n 4

5n 1

un

n10

;

un

n2

;

(n 1)!

И

(n 2)!

n n

n

;

n 2 n

un

2

un

3n 1

;

n 1

n

3

un n

2

e

n3

1

;

un n ln2 n 1 ;

1 n n

un

1 n 1

2n 1

.

un

(n 2) .

18n 7

3.

Исследовать на сходимость

4.

Исследовать на сходимость

ряды

un , используя при-

ряды

un ,

используя

при-

n 1

n 1

знаки сходимости.

знаки сходимости.

1

n 1

n 1 n

n

С3

un

;

;

2

un

3

5

2n 3

n 1

un

2n

1

;

u

52n

;

2 n

n

(2n 1)!

un

1

;

un

1

;