Материал: 2018

Итак, при

q

1 ряд (1.3) сходится и его сумма S равна

a

. В

1

5

1 q

частности, сумма ряда (1.4) равна S

.

1

1

4

q

1, то ряд (1.3)

5

Если

сходится лишь при a 0. В этом случае

Sn 0 ,

следовательно,

lim Sn

0. Если

a 0 и

q

1,

то из (1.8)

следует, что

n

a1 qn 1

lim 1 qn 1

limS

n

lim

a

a

,

т.е. ряд

С

1 q

1 qn

1 q

n

n

(1.3) расход

тся.

q

1,то получим при q 1 ряд

Если a 0

при

а q 1 ряд a a a ,

(1.9)

a a a a 1 n 1a .

(1.10)

Для ряда (1.9)

lim Sn

lim n a a lim n a , т.е. ряд яв-

n

n

n

ляется расходящимся.

S2n 0,

S2n 1

a,

Для

ряда (1.10)

следовательно,

последова-

тельность частичных сумм a, 0, a, 0,... не имеет предела.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

бА

n 1

3

4

5

n

1

.

ln2 ln

ln

ln

ln

ln

2

3

4

n

n

n 1

Решение. Для частных сумм данного ряда имеем

3

4

5

Дn 1

Sn ln2 ln

ln

ln

ln

2

3

4

n

ln

2 3 4 n n 1

ln n 1 .

1 2 3 n

limln n 1 .

Следовательно,

lim S

n

n

n

И

Согласно определению 6 ряд является расходящимся.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

1

1

1

1

1

.

3 5

n n 2

1 3

2 4

n 1n n 2

1

A

B

an

.

n n 2

n

n 2

С

и B :

Найдем числа A

A n 2 Bn

1

A B

A B n 2A

n n 2

n

n 2

n n 2

n n 2

.

при A B 0,

Если две равные дроби имеют одинаковые знаменатели, то и их

числители равны, т.е.

1 A B n 2A ли 0 n 1 A B n 2A.

бА1 1 1 1 1

Два многочлена являются равными, если равны коэффициенты

од наковых степенях неизвестных, т.е.

2A 1.

Откуда A

1

, B

1

1 1

1

. Тогда an

,

2

2

n 2

2 n

S1 a1

1

1

,

Д

1

2

3

S

a a

1

,

3

2

2

1

2

2

2

4

S3 a1 a2

a3

1

1

1

1 1

1

1

1

1

3

2

3

2

2 4

2

5

1

1

1

1

1

,

4

4

5

2

2

S4 a1 a2

a3 a4

1 1

1

1

1

1 1

1

4 2

4

2

5

2 4

6

1

1

1

1

1

,

И

4 2

n

1

2

n

2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Sn

1 1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

5

4 2

5

6

7

2 n 1

1

1

1

1

1

1

1

1

.

n 2

2

n

n 2

4

2

n 1

2

Отсюда

С

1 1

1

1

1

lim

Sn

lim

n

n 4 2

n

1

2

n

2

lim

1

1

lim

1

1

lim

1

1

,

n 4

2n n 1

2n n 2 4

Задачи

т.к.

lim

1

0

lim

1

0.

n n 1

n n 2

ледовательно, данный ряд сходится и его сумма равна

1

.

бА

4

для решения в аудитории

Задача 1. Исследовать на сходимость ряды:

1

1

.

а)

;

б)

5n 6

n 3 n

2 3n 2

n 4 n2

произвольного числа c ряд

С

can ca1 ca2 can .

(1.11)

n 1

Так же сход тся

его сумма, равная cS . Если же ряд (1.2) рас-

ходится c 0, то

ряд (1.11) расходится.

чим

Доказательство.

Пусть ряд (1.2) сходится и S lim Sn. Обозна-

частные суммы ряда (1.11) через Sn .

n

Тогда

бА

(1.12)

Sn ca1

ca2

can

c a1

a2

an cSn.

Следовательно,

lim Sn lim cSn

c lim Sn

cSn .

n

n

n

Пусть теперь ряд (1.2) сходится, c 0, и допустим противное, что

ряд (1.11) сходится, причем lim Sn

S . Тогда, учитывая (1.12), имеем

n

Д5

S lim cSn

c lim Sn ,

откуда

lim

Sn

S

, что противоречит нашему

n

n

n

C

условию орасходимостиряда (1.2),чтои требовалось доказать.

Пример 1. Известно, что ряд (1.4) сходится. Показать, что схо-

дится и ряд

54 53 52 5 1 1

1

.

5

n 4

Решение. Последний ряд получается из ряда (2.4) умножением

на c 54 , следовательно, он сходится согласно теореме 1.

Теорема 2. Если ряды

Иa (1.13)

a

a

a

n

2

n 1

1

n

и

bn b1 b2 bn

(1.14)

a1 b1 a2 b2 an bn

an bn

(1.15)

вать и вычитать.

С

S lim Sn , где

Доказательство. По условию имеем S lim Sn ,

n

n

S a1 a2 an , S b1 b2 bn.

тичная

b2 an

bn ,

n 1,2,

, час-

Пусть

Sn

a1

b1 a2

сумма ряда (2.15). Тогда

lim Sn

lim Sn

Sn lim Sn

lim Sn S S .

n

n

n

n

бА

ледовательно, каждый из рядов (1.15) сходится и сумма каждо-

го равна соответственно S S

S

, что и требовалось доказать.

Пр мер 2. Исследовать на сходимость ряд

2n 3n

5

13

2n 3n

6n

2

6

36

6n

n 0

и если он сходится, найти его сумму S .

Решение. Данный ряд можно представить в виде

2n 3n

2

n

3 n

1

1

6

n

n

2

n

n 0

n 0 6

6

n 0 3

1