Материал: 2018

венно

S

1

3

, S

1

(см. пример 1).

1

2

1

2

1

1

3

2

С

ледовательно, данный ряд сходится и его сумма равна

S S S

3

2

7

.

и

2

2

Без доказательства сформулируем следствие.

ледств е 1. Разность сходящихся рядов есть ряд сходящийся.

ледств е 2. Сумма расходящихся рядов есть ряд расходящийся.

Пр мер 3. Ряды

бесконечности8 16 24 8n

3n

5 10 15 5n , 3 6 9

очевидно являются расходящимися, так как пределы их частных сумм

равны

.

Их сумма

и разность

2 4 6 2n

также расходящиеся ряды.

Без доказательствАрассмотрим следующую теорему.

Теорема 3. Если в ряде (1.1) добавить или отбросить конечное

число членов, то полученный ряд

И

a1 a2

an

(1.16)

5

1

1

1

1

,

2

53

55

56

5n 1

тановлен я пр знаков сходимости рядов.

Рассмотр м необходимое условие сходимости ряда.

Теорема 1.

Кр терий Коши (необходимые и достаточные усло-

С

сход мости ряда).

Для того, что ы последовательность a1,a2,...,an ,...была сходя-

щейся, необход мо

достаточно, чтобы для любого 0 существо-

вал такой номер N, что при n > N и любом p > 0, где р – целое число,

выполнялось

неравенство

вия

an p

an

.

Доказательство (нео ходимость).

бы

Пусть an a,

тогда для любого числа 0найдется номер N

такой, что неравенство

a an

выполняется при n>N. При n>N и

2

любом целом p>0 выполняетсяАтакже неравенство

a an p

. Учи-

тывая оба неравенства, получаем

2

an p an

(an p

a) (a an )

an p

a

a an

.

2

2

Д

Необходимость доказана. Доказательство достаточности рас-

сматривать не будем.

Сформулируем критерий Коши для ряда.

Для того, чтобы ряд u1 u2 ... un

... un был сходящимся,

И

n 1

признаки сходимости:

1) Теорема 2. Если ряд (1.2)

сходится, то его общий член an

стремится к нулю.

С

Доказательство. Пусть ряд (1.2) сходится и lim Sn S .

n

Тогда имеем также lim Sn 1

S . Так как an Sn Sn 1, при n 1

получ м

n

Если

S S 0.

lim an

lim

Sn

Sn 1 lim Sn lim Sn 1

n

n

n

n

Что требовалось доказать.

ледств е 1.

n й член стремится к нулю, еще не сле-

дует, что ряд сход тся, ряд может и расходиться.

Пр мер 1. Ряд

2

4

6

2n

7

10

расход тся, так как

4

3n 1

2n

2

2

lim a

n

lim

lim

0.

n

n

3n 1

n

3

1 3

n

Однако на практике применить непосредственно критерий Коши

не очень удобно. Поэтому, как правило, используются более простые

При вычислении предела воспользовались тем, что lim

1

0.

бАn n

Подчеркнем, что рассматриваемый признак является только не-

обходимым, но не является достаточным, т.е. из того, что член

стремится к нулю, еще не следует, что ряд расходится,

ряд мо-

жет и расходиться. Примером такого ряда может служить гармониче-

Д

ский ряд (1.5). Он расходится,

хотя lim an

lim

1

0. Чтобы дока-

зать это, напомним, что

n

n n

1 n

n 1 n

1

e, т.е.

e .

(1.17)

n

n

И

Логарифмируя неравенство (2.17) по основанию e, получим

n 1 n

lnl

nln

n 1

ln

, или

1.

n

n

ln

n 1

1

,или

ln n 1 ln n

1

.

(1.18)

n

n

n

Подставим

в (2.18)

поочередноn 1,2,3,...,n 1,n.

Получаем

неравенства

ln2 1,ln3 ln2

1

,ln4 ln3

1

,

2

3

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

эти

2

3

n 1

n

lnn ln n

1

1

,ln n 1 lnn

1

.

С n 1

n

лож в почленно

неравенства, получаем

бА

ln n 1 1

1

1

1

1

,

т.е.

част чная

сумма

гармонического

ряда

Sn 1

1

1

1 ln n 1 .

2

3

n

Поскольку limln n 1 , получаемlim Sn , следовательно,

n

n

гармонический ряд расходится. Существует множество рядов, для ко-

торых lim un 0, но которые тем не менее расходятся.

n

Д

Пример 2. Исследовать сходимость ряда

1

.

1

n 1

n

Решение.

Заметим,

что

lim un =lim

n

0, т.е.

необходимое

n

n

условие сходимости выполнено. Частичная сумма

Sn 1

1

...

1

1

1

...

1

n

1

,

2

n

n

n

1

n

n

поэтому

lim Sn

lim n

lim

,

а это значит, что ряд рас-

n

n

n

n

n

И

ходится по определению.

0, при

четных

n;

Sn

1, при нечетных n.

Однако при этом последовательность частных сумм ограничена,

т.к.

Sn

2 при любом n.

С

Задачи для решения в аудитории

Задача. Доказать, что ряд

un

расходится, если:

n 1

а)

un

n2

3n 10

;

б)

u

3n 1

2n

n

;

3n 1

10n2

3n 2

бА

в)

un

n sin

;

г)

u

2n

1 1

.

и2n 1

n

2n 3 3

Индивидуальные задания

Доказать расходимость ряда

un , используя необходимый при-

знак сходимости [4].

n 1

1.

2.

n 2

u

n

3n 4

;

un

;

3 n3 2n 4

5n 1

3.

1

4.

И

n

n 1

n

1

n

u

n

3 5

2n 3

;

Дu ;

n

n

1

5.

u

4n 1

;

6.

un

cos

;

n

n

100n 36

3

7.

un

tg

n

;

8.

un

n 3 n

;

4n 1

n

9.

10.

2

2

un

3n

4n

;

un

n2 2n 1 ;

4n 5

6n 5n 6