Материал: 2018

Fn

t

2

l

f x,t sin

nx

dx.

(4.45)

l

0

l

d2U

n

n a

2

nx

nx

U

n

sin

F t sin

.

2

dt

l

l

n

l

n 1

n 1

Пр равн вая в этом равенстве выражения при одинаковых соб-

ходим

dU 0

ственных функц ях, пр

к уравнению

Сd2U

n

n a

2

U

F t .

(4.46)

dt2

l

n

n

образом

Подставляя далее (4.42) в начальные условия (4.41), находим

Un 0

n

0.

(4.47)

dt

Таким

n

А

,

отыскание функции

Un t

сводится к решению

задачи Коши для о ыкновенного линейного неоднородного диффе-

ренциального уравнения второго порядка (4.46) с начальными усло-

виями (4.47). Общее решение уравнения (4.46) складывается из обще-

Д

го решения однородного уравнения и частного решения неоднород-

ного уравнения U * t :

U

n

(t) C

n

t cos

ant

D

t sin

ant

U* t .

(4.48)

l

n

l

n

И

В общем случае, при произвольной непрерывной правой части в

уравнении (4.46) частное решение ищется в соответствии с методом

вариации произвольных постоянных в виде

U*n(t) C

n

t cos

ant

D

t sin

ant

.

(4.49)

l

n

l

cos

ant

sin

ant

an

l

l

.

an

sin

ant

an

cos

ant

l

l

l

l

l

Поэтому про зводные

от

варьируемых функций Cn t иDn t

определяются по формулам

иn

n

Сsin

ant

Fn

t

l

ant

Cn' t

l

sin

Fn t ,

W

an

l

бАan 0 l

cos

ant

F

t

l

ant

D

'

t

l

n

cos

F t .

(4.50)

W

an

l

Интегр руя д фференциальные уравнения первого порядка

(4.50), находим

l

l

Cn t

sin

Fn t d ,

an

0

l

n

l

Дn

D t

l

cos

an

F t d .

n

n

Следовательно, частное решение неоднородного уравнения

(4.46) может быть представлено в виде

И

l

ant

an

U*n(t)

l

F cos

an t l

F sin

an

sin

d cos

d

an

l

l

l

l

l

l

an

Fn sin

t d ,

an

0

l

а общее решение согласно (4.48) будет

Un t Cn cos

an t

an t

l

l

sin

an

t d .

Dn sin

Fn

(4.51)

an

l

l

0

l

Из начальных условий (4.47) следует

Cn=Dn= 0.

(4.52)

l 1

t

an

n x

u x,t

Fn sin

t d

sin

.

(4.53)

l

l

a n 1n 0

Уч тывая выражение (4.45) и меняя в (4.53) порядок суммиро-

С(4.39) – (4.41) в в де

l 1 t 2 l

an

n

n x

u x,t

f , sin

d

sin

t d sin

l

l

l

a n 1 n

0 l

0

2

t l

1

n x

an

n

вания

f

, sin

sin

d sin

t d

a

l

l

l

0 0 n 1n

или окончательно

t l

f , d d

(4.54)

u x,t G x, ,t

,

00

где введено обозначение

n

бА2 1 n x an

G x, ,t

f ,

sin

sin

sin

t .

(4.55)

a n 1n

l

l

l

Функция

G x, ,t называется

функцией

источника

или

функцией влияния мгновенного сосредоточенного импульса, прило-

Д

женного на ограниченном отрезке

0

, 0

. Можно показать, что

в пределе при 0, 0 получим функцию

u x,t G x, ,t

I

,

И

характеризующую влияние мгновенного сосредоточенного импульса

мощности

0

0

I

f , d d .

0

0

Если функция Fn(t) в уравнении (4.46) имеет достаточно простой

вид, то для определения частного решения можно воспользоваться

С

методом подбора частного решения.

найти

t

Пусть требуется

решение уравнения (4.39) при однород-

ных гран чных услов ях (4.40) и неоднородных начальных условиях

u(x,0)

x ,

u(x,0)

f x .

(4.56)

u(x,t) x,t w x,t ,

(4.57)

Д

где функция x,t является решением начально-краевой задачи для

однородного уравнения

2

a2 2

(4.58)

t2

t

2

И

с однородными граничными условиями

(0,t) l,t 0

(4.59)

и с начальными условиями

(x,0)

x ,

t

(x,0) f x .

(4.60)

2w

a2

2w

f x,t

(4.61)

t2

t2

С

при однородных граничных условиях

w(0,t) w l,t 0

(4.62)

и с нулевыми начальными условиями

и

w(x,0) 0,

w(x,0)

0.

(4.63)

t

Задача (4.58) – (4.60) описывает свободные колебания струны,

na t

an t

n x

x,t A

cos

B sin

sin

.

(4.64)

n 1 n

n

n x

бw x,Аt W t sin

,

n

l

n 1

(4.65)

f x,t F

t sin n x .

n

l

n 1

Как было показано, отысканиеДфункции Wn(t) сводится к реше-

нию задачи Коши для обыкновенного линейного неоднородного

дифференциального уравнения второго порядка

d2W

n a

2

F t

n

W

(4.66)

dt2

l

n

n

И

с однородными начальными условиями

W 0

dWn 0

0 .

(4.67)

n

dt