Материал: 2018

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Эта сила уравновешивается возникающими при продольных колеба-

ниях силами инерции Fdx

Приравнивая в соответствии с принципом Даламбера сумму сил,

действующих на выделенный элемент стержня нулю:

dx Fdx

0 ,

(4.28)

получ м уравнен е продольных колебаний стержня

уравнение

(4.29)

где теперь a

– скорость распространения упругих волн в мате-

бА

риале стержня, скорость звука в материале [м/с].

Как в дно,

малых свободных продольных колебаний

стержня совпадает по форме записи с уравнением малых поперечных

колебан й струны (4.1).

Различие между этими задачами будет проявляться в постановке

граничных условий. Ограничимся случаем консольного защемлённо-

го стержня (рис.4.4).

Рис. 4.4

Очевидно, на левом конце стержня

u 0 0.

(4.30)

Так как на свободном конце стержня внешних сил нет, то равнодействующая внутренних нормальных сил упругости должна быть равна нулю, откуда следует

u l,t	0.	(4.31)

x

161

Как видно, в отличие от задачи о свободных поперечных колебаниях закреплённой по концам струны (4.1 – 4.5), граничные условия теперь являются смешанными, то есть ставятся на функцию и её производную.

Начальными условиями определяются продольные перемещения и скорости поперечных сечений стержня в момент времени t =0:

	u(x,0) f x ,	u(x,0)	х ,	(4.32)

		t
где f x	х – заданные функции.
и
Найдём решен е начально-краевой задачи (4.29 – 4.32) методом
Сразделен я переменных.
Как	ранее, представляя ненулевое частное решение уравнения

(4.29) в в де (4.6), после о ычных преобразований, характерных для
образом
метода разделен я переменных, получим уравнения (4.8) и (4.9).
Подставляя (4.6) в граничные условия (4.30), (4.31), находим
	X(0) Х (l) 0.	(4.33)
Таким	А	теперь прихо-
	, для определения функции X(х)

дим к задаче на со ственные значения (4.11), (4.33). Общее решение уравнения (4.11) имеет вид

X(x) C1 cos x C2 sin x.

Из первого граничного условияД(4.33) получаем

X(0) С2 0,

а из второго граничного условия следует


Х l C1 cos x 0.
Поэтому, чтобы существовало нетривиальное решение задачи,
необходимо принять
	cos x 0,
то есть при l n , n 1,2,... . СледовательноИ, собственные значе-
2
ния равны	2n 1
n	2n 1	n 0,1,2, .	(4.34)
	2l

162

Соответствующие им собственные функции с точностью до постоянного множителя С1 определяются по формуле

Хn	х sin	2n 1 x	.	(4.35)

		2l

Заметим, что собственные функции (4.35) ортогональны на от-

резке [0, l].

При m n меем

2n 1 х

2m 1 х

n m х

m n 1 х

При

sin

cos

n m х

m n 1 х

cos

n m 1

n m

m n

бА

меем

2n 1 х

sin2

1 cos

С учетом (4.34) уравнение (4.8) запишется в виде

a 2n 1

(4.36)

(t)

T (t) 0 .

Его общее решение

T (t) A

cos

a 2n 1 t

sin a 2n 1 t ;

n 1,2,... .(4.37)

Подставляя (4.35),

(4.37) в (4.6) и суммируя частные решения

линейного однородного уравнения (4.29), находим решение задачи в

виде ряда

a 2n 1 t

2n 1 x

(4.38)

u(x,t)

A cos

sin

n 0 n

Произвольные постоянные An и Bn определяем из начальных

условий (4.32):

u(x,t) f x A

sin 2n 1 x ,

n 0

163

u(x,t)

2n 1

2n 1 x

x Bn

sin

n 0

где An

и Bn можно рассматривать как коэффициенты разложения

функций f x и x в ряды Фурье по системе ортогональных функ-

ций sin[(2n+1)πх/(2l)]. Поэтому, согласно (4.22), находим

2n 1

f (x)sin

xdx

2n 1

f (x)sin

xdx,

2n 1

xdx

sin

Сl

2n 1

2n 1 a

(x)sin

xdx

2 l

2n 1

(x)sin

xdx.

2 2n 1

xdx

l 0

sin

Окончательно получ м

2n 1

xdx.

Вn

0 (x)sin

2n 1 a

Подставляя An

и Bn в ряд (4.38), получаем окончательное реше-

ние задачи о сво одных продольных колебаниях консольного защем-

ленного стержня.

бА

§ 5. Решение неоднородного волнового уравнения методом

разложения по собственным функциям

Неоднородным волновым уравнением называется уравнение вида

2и

f x,t ,

(4.39)

в котором f(x,t) – плотность внешней силы,Ивызывающей вынужденные колебания струны, т. с. предел отношения

lim	F x,x x,t	,

x 0	x

где F – внешняя сила, действующая на участок струны [х, х + х] в момент времени t.

164

Рассмотрим различные решения этого уравнения на примерах задач о вынужденных колебаниях струны с различными граничными и начальными условиями.

5.1. Задача о вынужденных колебаниях струны при отсутствии начальных возмущений

К этой задаче сводится решение неоднородного волнового уравнения (4.39) с однородными граничными и начальными условиями


и		,u(l,t) 0		,	(4.40)
С	u(0,t) 0
	(х, 0) = 0,	и х,0	0.		(4.41)

		t

Её решен былоестро тсяметодом разложения по собственнымфункциям.

В соответств с этим методом на первом этапе решается методом разделен я переменных краевая задача для однородного волно-

вого уравнен я		(4.1) при однородных граничных условиях
(4.4) – (4.5).		А

Как	показано ранее (см. § 3), собственные функции этой
задачи определяются согласно (4.16): Хn х sin					nx		.

						l
На втором		этапе возвращаемся к неоднородному уравнению
			Д
(4.39), и его решение ищем в виде разложения в ряд по собственным
функциям однородной задачи				Un t sin nx '.
	u x,t Un t Хn х

		n 1		n 1		l

При этом удовлетворяются граничные условия (4.40), а задача сводится к отысканию неизвестной функции Un t . Подставляя (4.42) в уравнение (4.39), получим

d2U

n a

f x,t .

sin

(4.43)

l И

n 1

Далее раскладываем в ряд Фурье на отрезке [0, l] по собственным функциям однородной задачи правую часть уравнения (4.43):

F	t sin nx f x,t .		(4.44)

n
n		l
n 1		l

165

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
_РГР № 3