Материал: 2018

Если С2 = 0, то опять получим нулевое решение

X (х) = 0.

Поэтому, чтобы существовало нетривиальное решение задачи, необходимо принять

156

Произвольные постоянные An и Bn находим далее из начальных условий. Подстановка (4.19) в (4.5) приводит к равенствам

Выражение (4.19) с учетом (4.22) и (4.23) и даёт окончательное решениезадачи омалыхсо ственныхпоперечныхколебаниях струны.

В полученном решении разные значения n соответствуют различным собственным формам колебаний струны. Функцию

Из (4.24) следует, что все точки струны совершают гармонические колебания относительно положения равновесия с одинаковыми

дольной координаты x точки струны. Такие колебания называются

157

стоячими волнами. При этом максимальное отклонение от положения

равновесия будет достигаться при sin nx 1, то есть в точках с абс- l

циссами x = (2k +1)l/(2n), (k = 0,1,2,...,n-1) на отрезке [0, l]. Точки, в

которых отклонения достигают максимума, называются пучностями. Но при колебаниях струны имеются и неподвижные точки, которые называются узлами стоячей волны. Они определяются из условия

СвремениПервые три формы колеблющейся струны в разные моменты показаны на р с. 4.2.

sin nx 0. Так х точек на отрезке [0, l] будет (n +1) с абсциссами

l

x = kl/n, (k = 0,1,2,..., n).

Рис. 4.2

Результирующее отклонение u(x, t) произвольной точки струны, как следует из (4.19), равно сумме отклонений, соответствующих раз-

Она соответствует основному тону колебаний струны. Как видно, частота основного тона колебаний тем выше, чем сильнее натянута струна и чем она короче и легче. Высшие тона колебаний называются обертонами.

Пример. Найти закон колебания струны длиной l, если в начальный момент струне придана форма кривой

u x l x ,

8l

а затем струна отпущена без начальной скорости. Струна закреплена на концах. Внешние силы отсутствуют.

158

Решение. Задача сводится к решению однородного волнового уравнения (4.1) при однородных граничных условиях (4.4) – (4.5) и начальных условиях

u х,0 x l x ,

Стержнем называют тело, размерыДпоперечного сечения которого малы по сравнению с его длиной. Как известноИ, стержень является основным расчётным объектом в сопротивлении материалов.

Будем рассматривать призматический стержень постоянного поперечного сечения с прямолинейной осью. Если стержень предварительно растянут или сжат осевыми силами и в момент времени t = 0 действие сил мгновенно прекращается, то он будет совершать свободные (собственные) продольные колебания.

159

Рис. 4.3

Будем предполагать, что при этом сечения, перпендикулярные к

160