Материал: 2018

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Суммируя решения задач (4.58) – (4.60) и (4.61) – (4.63), получа-

ем общее решение исходной задачи.

Пример. Найти закон колебаний однородной струны длиной l под действием внешней гармонической силы

F x,t 2 xsin t,

рассчитанной на ед н цу длины струны. Концы струны закреплены. Начальные услов я

u(x,0) U0 x 0,

Сu(x,0)

V0 x

(4.68)

бА

Решен е. Задача приводится к решению уравнения

иu

F x,t

(4.69)

при однородных граничных условиях (4.40) и начальных условиях (4.68). Величины , и – константы.

Так как начальные условия неоднородны, применяем прием редукции, полагая

u(x,t) x,t w x,t .

Функция

x,t определяется

выражением

(4.64). Из

формул

(4.22), (4.23) находим

2g l

n x

4gl

An 0, Bn

x 1

sin

a nl 0

Поэтому

x,t 4gl

sin n at sin n x .

(4.71)

1 1

a n 1

Функция Fn(t) определяется из выражения (4.45):

n x

2 x

n x

Fn t

F x,t sin

sin t sin

171

n x

n 1

sin t xsin

4 1

sin t.

(4.72)

Для определения функции w x,t , используя (4.65) и (4.72), при-

ходим к уравнению

d2W

n a

4 1 n 1

sin t.

dt2

Общее решен е уравнения (4.73) имеет вид

W x,t C

cos

na t

sin

an t

4 1 n 1

sin t . (4.74)

Сl

n a

бАn

Наход м далее произвольные постоянные из начальных условий

(4.68):и

4 l 1 n

(4.75)

Cn 0, Dn

2 n a 2

a n

Следовательно,

W t

4 1 n

n at

sin

sin t

(4.76)

n a 2

2 n a

Подставляя (4.76) в (4.65), находим решение задачи (4.66), (4.67)

в виде

4 1 n

w x,t

n at

n x

. (4.77)

sin

sin t sin

n a

n 1

n a

172

Суммируя решения (4.71) и (4.77), окончательно имеем

w x,t

4 gl

1 1 n

n at

sin

n 1 a 3

1 n

n at

n x

sin

sin t sin

(4.78)

n a

следствием

Из полученного решения следует, что в случае, когда частота

Свнешней возмущающей силы совпадает с одной из собственных час-

тот колебан й струны n

n a

(явление резонанса), отклонения

бА

струны от положен я равновесия неограниченно возрастают. Это, ко-

нечно, является

принятой идеализированной математиче-

ской модели коле ан й, не учитывающей демпфирования.

5.3. Редукция о щей неоднородной начально-краевой задачи

для волнового уравнения

Пусть уравнение и все краевые условия (граничные и началь-

ные) неоднородны и имеют вид

u f x,t .

(4.78)

Граничные условия

u(0,t) t , u l,t t ,

(4.79)

а начальные условия

И(4.80)

u(x,0)

V x

u(x,0) U0 x .

173

Принимаем

u(x,t) x,t w x,t ,

(4.81)

где функция w x,t ищется в виде линейной функции:

w x,t kx b,

а коэффициенты k и b определяются из граничных условий (4.79):

w 0,t b t ,

w l,t kl b kl t t .

Отсюда следует

t t

Поэтому

w x,t t t t

(4.82)

для функции x,t получаются

При этом, как легко у едиться,

однородные гран чные условия:

0,t 0, l,t 0.

(4.83)

Подставляя (4.81) с учетом (4.82) в уравнение (4.78), приходим к

неоднородному уравнению относительно функции x,t :

t t

f x,t

(4.84)

бА

Начальные условия для функции v(x,t) запишутся в виде

(x,0) U0 x w x,0 ,

(x,0)

V x

w(x,0).

(4.85)

Таким образом,

задаче

отыскание

функции

x,t сведено к

(4.84), (4.83), (4.85) с однородными граничными условиями, которая далее решается с использованием приема редукции (см. п. 5.2). Найдя функцию x,t и подставляя её в (4.81), получим окончательное решение исходной задачи (4.78 – 4.80).

174

Задачи для решения в аудитории

Задача 1. Струна закреплена на концах в точках x=0 и x=l, имеет

в начальный момент времени форму параболы u(x,0)

x(l x).

Определить смещение точек струны от оси абсцисс, если начальные

скорости всех точек струны равны нулю.

Задача 2. Найти решение волнового уравнения

2и

приdu

(l,t) 0.

Сследующ х гран чных условиях:

(0,t) 0,

бА

С начальными условиями

и(х, 0) = х,

и х,0 2.

Ответы

1. u x,t

cos 2n 1 at sin 2n 1 x ;

n 0

2n 1 3

2. u x,t

2n 1 x

cos

2n 1

2 n 0

Индивидуальные задания

1. Найти отклонение u(x, t) закрепленной на концах x=0 и x=l однородной горизонтальной струны от положения равновесия, если в начальный момент струна имела форму параболы с вершиной в точке

x l и отклонением вершины от положения равновесия h, а началь- 2

ные скорости отсутствовали. Взяв три первых члена ряда Фурье, най-

175

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
_РГР № 3