Материал: 2018
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Сибирский государственный автомобильно-дорожный университет (СибАДИ)»
С |
Е.Ю. Руппель |
и |
|
бА |
|
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЯДОВ |
|
И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ |
|
ТЕХНИЧЕСКИХ ЗАДАЧ |
|
|
Д |
|
Учебное пособие |
|
И |
Омск • 2019
УДК 512
ББК 22.14 Р86
___________________________
Согласно 436-ФЗ от 29.12.2010«Озащитедетей отинформации, причиняющей вредих здоровьюи развитию» даннаяпродукция маркировке неподлежит. _____________________________
Рецензенты:
канд. физ.-мат. наук, доц. В.Г. Шантаренко (ФГБОУ ВО «ОмГУПС»);
СибАДИможет быть использовано аспирантами преподавателями математики технических образовательных организаций при изучении данных разделов.
канд. физ.-мат. наук, доц. О.Л. Курнявко (ОИВТ (филиал) ФГБОУ ВО «СГУВТ»)
Работа утверждена редакционно-издательским советом СибАДИ в качестве
учебного пособ я.
Руппель, Елена Юрьевна.
Р86 Элементы теор рядов и их приложения при решении технических задач [Электронный ресурс] : уче ное пособие / Е.Ю. Руппель.– Электрон. дан.
– Омск : С бАДИ, 2019. – URL: http://bek.sibadi.org/cgi-bin/irbis64r plus/ cgiirbis 64 ft.exe?C21COM=S&I21DBN=IBIS FULLTEXT&P21DBN=
IBIS&S21FMT=briefHTML ft&Z21ID=GUEST&S21ALL=<.>TXT=esd1087.pdf<.>
. - Режим доступа: для авторизованных пользователей.
Содержит теоретический и справочный материал по разделу «Теория рядов», необходимый при о учении дисциплины «Математика» и при решении задач прикладного характера. Рассмотрены примеры решения задач, а также представлены вопросы для самопроверки, контрольные работы и индивидуальные задания. На базе рядов Фурье рассмотрены некоторые задачи
теории изгиба балок.
Имеет интерактивное оглавление в виде закладок. Содержит видеофрагменты обучающего и демонстрационного характера, которые
воспроизводятся с помощью проигрывателя Windows Media.
Предназначено для обучающихся всех форм экономических, технических, строительных направлений бакалавриата, специалитета и магистратуры. Также
Подготовлено на кафедре «Физика и математика».
Мультимедийное издание (1,8 МБ)
Системные требования : Intel, 3,4 GHz ; 150 МБ ; Windows XP/Vista/7 ; DVD-ROM ;1 ГБ свободного места на жестком диске ;
программа для чтения pdf-файлов :
Adobe Acrobat Reader; Google Chrome ; Windows Media Player, колонки
Редактор Н.И. Косенкова
Техническая подготовка Л.Р. Усачева Издание первое. Дата подписания к использованию 29.10.2019
Издательско-полиграфический комплекс СибАДИ. 644080, г. Омск, пр. Мира, 5 РИО ИПК СибАДИ. 644080, г. Омск, ул. 2-я Поселковая, 1
© ФГБОУ ВО «СибАДИ», 2019
Ссылка на видео внутри текста кликабельна
«Высшее назначение математики … состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает».
Н. Винер
Введение С
В пособии представлены материалы, необходимые для изучения
такого раздела курса «Математика», как «Теория рядов» обучающимися всех форм экономических, технических, строительных направ- скихлений бакалавр ата, специалитета и магистратуры. Также может быть использовано асп рантами и преподавателями математики техничеобразовательных организаций при изучении данных разделов. Основная особенность посо ия ‒ сочетание необходимого теоретического матербала с ш роким использованием методов решения основ-
ных типов задач по зложенным в нём разделам курса.
Идея нап сан я такого посо ия пришла автору после многолетнего чтен я лекц й для студентов технических направлений и переработки уже известнойАлитературы по данным разделам. Опыт работы в вузе выявил осо енности в изложении теоретического материала для студентов технических направлений. Основной принцип ‒ его доступность в сочетании со строгостью изложения, поэтому пособие отличается высоким уровнем строгости и методической продуманности изложенных тем, точностьюДформулировок основных понятий и теорем, краткостью и доступностью при решении задач.
В согласии с обычной практикой прохождения курса теории рядов обоснование и доказательство основных теорем проводится при помощи нестрогих, правдоподобных («эвристических») рассуждений, а некоторые из них опущены полностью. УравнениеИсвободных малых колебаний струны с закрепленными концами и его решение методом Фурье, относимые некоторыми вариантами учебных программ к разделу «Ряды», выделены в самостоятельную главу.
Предложенные для решения задачи прошли многолетнюю апробацию. Пособие содержит задачи по всем разделам теории рядов, изучаемых в технических вузах. Большинство задач сопровождаются решениями, а те из них, которые предлагаются для самостоятельного решения, ‒ ответами. В учебном пособии приведен подробный разбор некоторых типовых задач из теории изгиба балки, решение которых позволит студенту глубже понять методику расчётов отдельных конструкций в своей инженерной деятельности.
3
Глава 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
Теория рядов широко используется в теоретических исследова- |
||||
ниях различных вопросов естествознания и в приближенных вычис- |
||||
лениях. помощью рядов вычисляются значения различных функ- |
||||
С |
|
|
|
|
ций, интегралов, решаются дифференциальные уравнения и т.п., в ча- |
||||
стности, программы приближенного вычисления значений элемен- |
||||
тарных функц й |
решения многих стандартных задач, |
заложения в |
||
память м кроЭВМ (включая и микрокалькуляторы), основанные на |
||||
Числовой |
|
|
||
применен теор |
рядов [1,2]. |
|
|
|
§1. Ч словые ряды. Основные понятия и свойства |
||||
бА |
|
|||
Определен е 1. |
|
ряд есть алгебраическая сумма бес- |
||
конечного ч сла слагаемых. Всякий ряд имеет, таким образом, вид |
||||
|
a1 a2 a3 |
an 1 an an 1 . |
(1.1) |
|
Пр чем нап санное выражение не имеет последнего члена, но за каждым из слагаемых имеется следующее слагаемое.
Для сокращенного о означения рядов используется знак суммирования , а именно:
|
|
a1 a2 an an . |
(1.2) |
n 1
Определение 2. Числа a1, a2 ,..., an ,... называются членами ряда
(1.2); an называется общим членом ряда.
Рассмотрим некоторые примеры рядов. В курсе математики |
|||||||||||||
средней школы мы уже встречались с понятием ряда, который полу- |
|||||||||||||
чается при вычислении суммы членовДгеометрической прогрессии: |
|||||||||||||
|
a aq aq2 |
|
|
|
|
|
|
(1.3) |
|||||
|
aqn aqn . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
Определение 3. Ряд (1.3) называется рядом геометрической |
|||||||||||||
прогрессии. |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
И |
|||
Если, например, a 1, q |
, то получим ряд |
|
|||||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
. |
(1.4) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5 |
52 |
|
5n |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
n 0 5n |
|
|
|||||
4
Определение 4. Ряд
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
(1.5) |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
3 |
n |
||||||||
|
n 1n |
|
|
|
|
|
|
|||||
называется гармоническим рядом. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
С |
Сумма первых n |
членов ряда называется час- |
||||||||||
Определение 5. |
||||||||||||
тичной суммой ряда.
Если частные суммы ряда становятся все более и более точными прибл жен ями некоторого числа, то ряд мы назовем сходящимся. То
если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
есть, |
|
существует ч |
сло |
S , для которого S1, S2,..., Sn ,...являются |
|||||||||||||||||||||||||||||||
прибл женными значениями, то S называют суммой ряда и пишут |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 a2 |
a3 an S . |
|
(1.6) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
бА |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Определен е 6. |
Ряд (4.1) |
называется сходящимся, если после- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
довательность его частных сумм (4.6) сходится, т.е. если существует |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
конечный предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim Sn S . |
|
|
|
|
|
|
|
(1.7) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если |
|
|
lim Sn |
не существует или |
|
lim Sn |
, |
то ряд называется |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
расходящимсяи емуне приписывается никакое числовое значение[3]. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 1. Исследуем на сходимость ряд геометрической про- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
грессии (1.3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|
||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 qn 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Sn a |
aq aq |
2 |
|
aq |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 q |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a aqn 1 |
|
|
|
|
a |
|
|
aqn 1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
(1.8) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 q |
|
1 q |
|
|
|
|
|||||||||||
Рассмотрим q, удовлетворяющее условию |
q |
1. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aqn 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aqn 1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
||||||||||||
lim S |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 q |
1 q |
|
1 q |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
1 q |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
a |
|
|
|
a |
|
lim qn 1 |
|
|
a |
|
|
|
a |
|
0 |
|
a |
. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 q |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1 q |
1 q n |
|
|
|
|
1 q |
1 q |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
5