Материал: 2018

Сила инерции, действующая на элемент ММ', очевидно равна

2u

t2 x,

где ρ – масса единицы длины струны. Составляя на основании принципа Даламбера (Даламбер Жан Лоран (16 ноября 1717 – 29 октября 1783) – французский механик, физик и математик) уравнение равновесия с л, действующ х на элемент струны, в проекции на ось 0y,

которое и называется уравнением свободных колебанийИструны.

Это уравнение и описывает процесс малых свободных поперечных колебаний струны и называется одномерным волновым уравнением. Это уравнение и его решение впервые были получены Ж.Даламбером в 1743 году.

151

§ 2. Начальные и граничные условия

Уравнению (4.1) удовлетворяет всякое свободное колебание струны, независимо от его физического происхождения, а также от

способов закрепления концов струны в точках х = 0 и х = l.

Сее точкам те ли ные скорости, – то другой. Кроме того, неподвижное подв жное закрепления концов струны приводят, как можно достаточно наглядно себе представить, к весьма различным ее движе-

Вместе с тем совершенно ясно, что если мы выведем струну из положения равновесия и представим самой себе, то характер ее колебаний будет од н, а если, выведя из состояния равновесия, придадим

.

Из сказанного следует, что для определения движения струны, кроме уравнен я (4.1), нео ходимо еще задать начальные условия, описывающ е поведен струны в начальный момент времени t = 0,

Разумеется, в частности, может оказаться, что в начальный момент времени струна не имеет отклонения от равновесного состояния (f(х) = 0) или же неподвижна ( (х) 0).

Граничные условия задачи вместе с начальными ее условиями иногда называются краевыми условиями.

Рассмотрим постановку начально-краевой задачи для волнового уравнения на примере задачи о малых свободных поперечных колебаниях струны конечной длины с закреплёнными концами.

152

Требуется решить однородное волновое уравнение

удовлетворяющее лишь однородным граничным условиям (4.4)–(4.5), в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной:

В этом равенстве при изменении t леваяИчасть, не зависящая от t, остаётся постоянной, поэтому будет постоянной и равная ей правая часть, то есть обе части равенства (4.7) не зависят от t. С другой стороны, при изменении x правая часть равенства, не зависящая от x, будет оставаться постоянной, значит, будет постоянной и не зависеть от x и равная ей левая часть. Таким образом, обе части равенства (4.7) не зависят ни от x, ни от t. Следовательно, они являются постоянными.

153

Обозначая эту постоянную через μ (её называют постоянной разделения), то есть принимая

иВ результате для определения функции X(x) приходим к задаче на собственные значен я (4.9), (4.10) (задаче Штурма – Лиувилля).

Эта задача меет нулевое (тривиальное) решение 0≡X, не представляющее ф з ческого нтереса, так как тогда

u(x,t) 0.

(Штурм Жак Шарль Франсуа (29 сентября 1803 – 18 декабря 1855) – французский математик, Лиувилль Жозеф (24 марта 1809 – 08 сентября 1882) – французский математик). Однако при некоторых значениях параметра μ, называемых собственными значениями, задача (4.9), (4.10) имеет решения, не равные тождественно нулю. Эти решения называются собственными функциями.

Покажем сначала, что ненулевые решения (4.9), (4.10) существуют при μ˂0. Доказательство от противного. Пусть μ=0. Тогда урав-

Его общее решение будет иметь вид И

Х(х) С1х С2.

Определяя произвольные постоянные из граничного условия (4.10), получаем

С1 С2 0.

154

Тогда

Х(х) 0.

Пусть μ > 0 ( 2, 0). Характеристическое уравнение, со-

155