Материал: 2018

V x VР

VР

2Pl3 1

n

3 n

nx

.

sin

2sin

sin

А

В

4

4

4EI n 1n4

Находим прогиб в её серединеv

l

2

l

2Pl3

1

2k 1

3 2k 1

k

V

sin

2sin

1

4

4

2

4

EI

n

1

4

2k 1

Спосле преобразований

l

2Pl3

1

1

1

1

1

1

1

1

б

V

А

4

2

2

2

.

2

EI

2

2

81

2

2

625

2

2

Окончательно получаем

l

2

Pl3

82

.

V

4EI 81

2

§ 6. Прогиб

алки от распределенной нагрузки

Д

Пусть балка находится под действием вертикальной нагрузки,

распределенной по ее длине с плотностью q(x) (рис. 3.8).

Рис. 3.8

И

Мы будем решать эту задачу способом наложения. Обозначим

через

изгибающий момент, порожденный в балке элементарной

сосредоточенной( )

силой q(с)dc, приложенной в точке х = с, и напишем

l

n

Mq x

mc,n sin

x dc,

l

0 n 1

где, в соответствии с формулой (3.29),

m

n

2l

q c sin

n

c.

n 2

l

Знач т,

2l l

1

n

n

Mq x

q c

sin

c sin

xdc.

l

С

2

0

n 1n2

l

Для перехода от разложения в ряд Фурье момента

к раз-

ложению в ряд Фурье функции прогиба

нам остается(,

)в соот-

ветствии2

с формулой (3.25), умножить n-й коэффициент( )

ряда (3.35) на

l

бА

2EIn2 , т.к.

nx .

v

x

q

b sin

n

l

n 1

В итоге мы получим

Д

2l3 1

l

n

n

vq x

q c sin

cdc sin

x.

(3.36)

4EI n 1n4

0

l

q x

q,

если0

х с;

(3.37)

еслис х l.

0,

На основании сказанного в § 10 гл. 2 (переходя от сегмента

к сегменту

) имеем

n

[0,

]

[0,

]q x qn sin

x,

(3.38)

n 1

l

где

С

2

l

n

q

n

q x sin

xdx.

l

0

l

Уч тывая в д оп сываемой в (3.37) функции q (х), мы получим

2c

n

2

l

n

c

2q

n

qn

q x sin

xdx

q

cos

x

1 cos

c

.(3.39)

l 0

l

l

n

l

0

n

l

и

Подстановка в (3.36) дает нам

x

2l4

1 1

1

n

n

vq

q

1 cos

c sin

x

l

l

4EI n 1n4

n

или

v

x

2ql4

1

n

c

n

x.

(3.40)

q

1 cos

sin

l

l

5EI n 1n5

бА

Дифференцируя

по х, мы получаем выражение для танген-

са угла поворота сечения(

балки)

(который ввиду ее жесткости можно

отождествлять с самим углом):

dvq

2ql3

1

n

n

q x

Д

(3.41)

dx

1 cos

l

c cos

l

x.

4EI n 1n4

В частности, если с =l, т. е. если равномерная нагрузка q распре-

делена по всей длине балки, то мы получим

И

4ql

4

1

2r

vq x

sin

1

x;

(3.42)

5EI r 0 2r 1 5

l

x

4ql

3

1

cos

2r 1

x.

(3.43)

q

2r

4

EI

r 0

4

l

1

функцию n 1

Рис. 3.9

Представ м

проги а, как и выше, в виде

бА

v

x b

sin n x.

M

n

>0 и

заменить момент М парой

вертикальных сил величины

каж-

дая: силы Р1, приложенной в точке с

силы Р ,

и направленной вверх, и ⁄

2

приложенной в точке с + и направленной вниз (рис. 3.10), после че-

го, устремив к нулю, перейти к пределу.

Д

Рис. 3.10

И

1

2

или, после перехода к пределу по

,

vМ

x limvМ

x lim vР

x vР

x .

0

0

1

2

2

М

l

3

1

n

n

n

vМ x lim

c

sin

sin

с sin

x,

l

l

l

0 4EI n 1n4

откуда (проверка законности почленного дифференцирования ряда по

с не составляет труда)