Материал: 2018

Для точного вычисления прогибов балки в точке используют формулы, известные для некоторых сумм числовых рядов. Приведем некоторые из них, которые часто встречаются:

Рис. 3.4

131

Рассмотрим для этого однородную по длине двухпролетную неразрезную балку с левым концом в х= – l и правым – в х =l, одинаково опертую обоими своими концами на опоры и имеющую промежуточную опору при х = 0, препятствующую вертикальному смещению

балки в этой точке: v(0) 0. Пусть эта балка загружена нечетным об-

ному к балке в точке х = с, – равный ему по величине и совпадающий

разом, т. . каждой с ле, приложенной к ней в точке x=c, соответствует равнаяизгибающийей по вел ч не и противоположная по направлению сила, к балке в точке х = – с, а каждому моменту, приложен-

нечетной функцией х и, в частности, М(0) = 0. Физически естественно предполагать, что соответствующая функция прогиба v(х)также явля-

ется нечетной. Формально это такжеДвытекает из следствия 1 теоремы 4 § 10 гл. 2, ибо функция М (х) согласно (3.12) отличается лишь постоянным множителем от второй производной v (х) функции v(х), а v(0) 0.

Левая половина рассматриваемой неразрезной балки воздействует на правую ее половину лишь некоторойИвертикальной («перерезывающей») силой и не прилагает к ней никакого изгибающего момента. Поэтому, если удалить левую половину балки, заменив ее соответствующей реакцией опоры, расположенной в точке х = 0, то ни на изгибающих усилиях в правой половине балки, ни на значениях функции прогибаv(х) при х 0это никак не скажется.

Наоборот, если рассматривать первоначально лишь правую часть балки, то присоединение к ней по нечетности левой части не изменит имеющейся картины изгиба.

Таким образом, естественно считать балку с левым концом в х = 0 и правым в х = и свободно опертую на опоры своими концами

132

половиной описанной выше «нечетной» неразрезной балки. Будем поэтому, в соответствии со сказанным в § 10 гл. 2, рассматривать разложение функции прогибаv x такой балки на сегменте [0,l] в ряд Фурье по синусам:

Чтобы воспользоваться приДэтом дифференциальным уравнением изгиба (3.17), нужно четыре раза продифференцировать почленно ряд, описывающий функцию прогиба. Однако, согласно теореме 3 § 4 гл. 2, мы можем быть уверены в правомерности этого дифференцирования и в том, что полученная производная равна правой части (3.17)

лишь в случае равномерной сходимости ряда четвертых производных

Но в рассматриваемом случае все четвертые производные членов ряда для v x , являющихся синусами с некоторыми коэффициентами, суть те же синусы, снабженные другими коэффициентами, так что являются во всяком случае непрерывными функциями. Следовательно, и их частичные суммы также непрерывны. В случае равно-

133

мерной сходимости непрерывной должна быть на основании теоремы 1 из § 4 главы 2 и сумма всего ряда. Но в действительности эта сумма равна q(x), а эта функция неразрывна.

Полученное противоречие показывает, что теорема о почленном дифференцировании рядов не дает нам оснований воспользоваться в этом случае дифференциальным уравнением изгиба (3.17) для нахождения коэффициентов ряда из (3.22).

Конечно, все сказанное не означает, что при использовании

В соответствии со сказанным в предыдущем параграфе естественно попытаться рассматривать такие соотношения, описывающие

Если приложенная к балке нагрузка R не содержит сосредоточенных моментов, то MR(x) является непрерывной функцией х, так что ряд Фурье этой функции сходится к ней равномерно (см. § 3 гл. 2).

134

Впрочем, во многих конкретных случаях эта равномерная сходимость будет вытекать уже из признака Вейерштрасса (§ 3 гл. 2).

Дифференцируя этот ряд почленно два раза (и запоминая, что это дифференц рован е накладывает на нас обязательство проверить впоследств его законность), мы получаем

Вторые производные членов стоящего справа ряда пропорциональны соответствующим членам равномерно сходящегося ряда из (3.24). Следовательно, и этот ряд вторых производных сходится равномерно. Тем самым двукратное дифференцирование ряда из (3.25) законно.

Как будет видно из ближайших параграфов, описанная возможность находит довольно широкий круг приложений.

135