Материал: 2018

(рис. 3.7).

С

Очевидно, в этом случае реакции опор направлены вверх и рав-

ны

P l c

для левой опоры и

Pс

– для правой. Элементарный ста-

l

l

и

бАn P

Рис. 3.7

тическ й расчет показывает,

что для изгибающего момента MP спра-

P l c

x,

если0 х с;

MP x

l

(3.27)

Pс

l x ,

еслис х l.

l

Д

Для коэффициентов m разложения M (x) в ряд Фурье на [0,l] по

синусам (см. (2.67)§ 10, гл. 2) мы имеем

2

nxdx

mn

MP x sin

( )

0

или, подставляя выражения для значений функции

согласно

2 P l c c

nx

2

с

nx

m

хsin

dx

P

l sin

dx

n

0

c

2

с

nx

И

l

P

l

хsin

dx.

(3.28)

c

b

nx

l

nx

b

l b

nx

хsin

dx x

cos

cos

dx

c

n

a

n c

2

2

l

nb

l

na

l

n

l

n

b

cos

a

cos

sin

b

sin

a.

n

n

n

n

грузки

l

l

ских целей достаточно в нем удерживать малое число членов.

Пр мер 1. Найдём прогиб

алки длиной l

в её середине, сво-

бодно опёртой на концах под действием на неё сосредоточенной на-

б2

в точке l .

3

Решен е. Нео ходимо найти vp

при c

.

2

3

Положив для этого в (3.31) x

l

, мы получим

v

l

2Pl3

1

n

n

.

Р

sin

sin

2

3

2

4EI n 1n4

Здесь члены, соответствующиеА= 2, 3, 4, обращаются в нуль, а

член с = 5 имеет коэффициент 1/625. Поэтому, ограничиваясь лишь

первым членом ряда и полагая

l

Pl3

Pl3

3

v

И

0,017781

,

Р

2

4EIДEI

v

x b sin nx

R

n

n 1

l

при помощи метода наложения, т. е. на основе соотношения

MR x

k

MP x ,

(3.33)

i 1

i

которое вытекает

з (3.1).

Если теперь положить

x mi,n sin nx

СMP

i

n 1

l

и, как раньше,

будет

иn 1

то из (3.33)

следовать

А

k

mR,n mi,n .

i 1

Но разложение каждой из функций

нам уже известно. Со-

гласно (3.29)

Д

mi,n

2lPi

sin

n

ci,

n 2

l

так что

И

m

2l

P sin n c .

k

R,n

i

i

2

i 1

Поэтому (3.25) дает нам

2l3

1

k

n

b

P sin

c

l

R,n

4EI n4

i 1

i

i

и мы получаем

x

2l3

1 k

n

n

v

P sin

c

sin

x.

(3.34)

l

R

4EI n 1 n4 i 1

i

i

l

мии предположен й», состоящей в том,

чтобы не пользоваться тем,

без чего можно обойт сь.

Пр мер 2.

Найдём прогиб балки длиной l в её середине, сво-

бодно опёртой на концах под действием на неё жесткой однородной

С

фермы весом Р, меющей форму прямоугольного треугольника и по-

ложенной на балку так, что концы стороны фермы, лежащей на балке,

l

3l

коорд наты А

;0

и В

;0

.

4

4

имеют

Решен е.

Так как

под фермой имеет прогиб, то на балку фактически

действуют две сосредоточенные нагрузки Р и РВ , приложенные в

l

3l

точках А

балка;0 и В ;0 .

4

4

А

Д

параллельна оси 0х, а сторона BD перпендикулярна оси 0х. Так как

центр тяжести треугольника лежит на пересечении его медиан. то

абсцисса центра тяжести хс

делит сторону АВ в соотношении 2 к 1,

считая от точка А, т.е.

а система находится в состоянии равновесия, т.е.

РА Ахс РВ Ахс ,И

найдем

Р

1 Р,

Р

2 Р.

А

3

В

3