Материал: 2018

напряжения положительны, а при других – отрицательны. В качестве начала отсчета z выберем тот уровень по высоте балки, на котором нормальные напряжения (а потому– и удлинения) равны нулю.

Обознач м через b(z) ширину балки на уровне z. Тогда усилие, действующее в элементарном слое dz, будет равно

аb z dz E zb z dz,

126

Отношение есть угол поворота балки, отнесенный к единице l

Из (3.12) следует, что, какова бы ни была дважды интегрируемая функция М(х), описывающая изгибающий момент в балке, можно указать соответствующую ей функцию v(x), описывающую прогибы этой балки. Эта функция v(х) определяется по М(х) единственным образом с точностью до линейного слагаемого Ах + В, соответствующе-

127

го перемещениям балки как твердого тела. Для определения постоянных А и В следует указывать те или иные способы закрепления концов балки. Коль скоро эти способы закрепления указаны, функция прогиба v(х) определяется по функции изгибающего момента М(х) однозначно.

другой стороны, из того же равенства (3.12) следует, что по любой дважды дифференцируемой функции v(х), для которой выполняются те ли ные начальные (или краевые) условия, отвечающие кинемат ческ м услов ям закрепления балки, можно указать такую функц ю М(х), что пр ложение к балке усилий, приводящих в каждой

128

Отметим, наконец, что из (3.4) и (3.12) следует

1)РассматриваемуюбАбалку помещают в удобную для определения её прогиба прямоугольную системуДкоординат, так чтобы начало балки совпало с началом системы координат, а конец помещают на ось абсцисс. В результате чеготочки балки займут отрезок [0;l] длины l.

2)На отрезке [0;l] составляют функцию рассматриваемой нагрузки R(x).

3)Для рассматриваемой нагрузки записываютИсоответствующее дифференциальное уравнение изгиба балки. А для положения концов балки на опорах выписывают соответствующие данному способу краевые условия для функции прогиба балки.

4)Пусть функция прогиба балки v(x) является непрерывной функцией и имеет непрерывные производные (n -1)-го порядка, где n-порядок дифференциального уравнения изгиба балки внутри отрезка [0,l], а n-я производная функции v(x) – кусочно-непрерывная, ку- сочно-монотонная и ограничена на отрезке [0;l] функция. Тогда согласно теории рядов Фурье можно выбирать базис пространства С[0;l] –{v1(x),v2(x),...,vn(x),...}. Базис пространства выбирают таким об-

129

разом, чтобы его базисные элементы vk (х) удовлетворяли краевым условиям рассматриваемого дифференциального уравнения, а их n-е производные составляли ортогональную систему функций

где n-порядок дифференциального уравнения.

Выбрав баз с{vk(x)}, составляют формальный функциональный

ряд – разложен е функции прогиба балки v(x) по этому базису: функциюv x b v x ,

k k

k 1

где bk – не звестные коэффициенты.

6)ПодставивбАполученные ряды для v(x) и R(х) в рассматриваемое дифференциальное уравнение, получают равенство, из которого находят коэффициенты bk.

Найденные коэффициенты bk подставляют в разложение функции прогиба балки v(x) по базисуДи окончательно получают функцию прогиба балки v(x) в виде ряда.

7)Используя признак Веерштрасса о сходимости функциональных рядов, теоремы о дифференцировании функциональных рядов и

теорему Дирихле о сходимости рядов Фурье, выясняют, в каких точках х для v(x) не выполняется сходимость полученногоИразложения к решению рассматриваемого дифференциального уравнения. Если найденная функция прогиба балки v(x) не удовлетворяет своему дифференциальному уравнению только в конечном числе точек на отрезке [0;l], то функция v(x) является функцией прогиба рассматриваемой балки при заданной нагрузке.

8) Для определения прогиба балки в конкретной точке х0 [0;l], число х0 подставляют в функциональный ряд, представляющий функцию прогиба балки v(x) и получают числовой ряд, для которого вычисляют точную сумму или приближенную, с заданной точностью вычисления.

130