Материал: 2018

Глава 3. ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ УПРУГОГО ИЗГИБА БАЛКИ

§ 1. Общая схема решения задач

Стел про звод тся по следующей схеме.

В гл. 2 описывалось применение степенных рядов к исследованию решений дифференциальных уравнений. В данной главе мы рассмотр м пр менен е рядов Фурье к некоторым исследованиям упру-

гого изг ба балок [13].

Использован е рядов Фурье для решения задач статики упругих

Прежде всего з физических соображений выводится соотноше-

, которое связывает функцию, описывающую геометрическое состояние деформ рованного тела, с приложенными к телу нагрузками.

ских условийбА, ограничивающих его перемещения, выбирается ортогональная система функций, по которой указанная функция состояния разлагается в ряд Фурье.

Подстановка этого ряда Фурье в выведенное соотношение при-

Этот процесс подстановки рядаДФурье в характеризующее изгиб соотношение следует осуществлять достаточно осмотрительно, ибо в ходе его приходится несколько раз почленно дифференцировать ряды Фурье, коэффициенты которых вычисляются лишь впоследствии. Убедиться в правомерности этого дифференцирования, из производ-

водит к тождественному равенству двух рядов Фурье, от которого, пользуясь теоремой 3 § 10 гл. 2, можно перейти к равенству коэффициентов при одинаковых функциях. Из этих последних равенств можно вычислить значения коэффициентов Фурье и тем самым опи-

ных членов дифференцируемого ряда, априори довольно затруднительно. Поэтому при решении каждой конкретной задачи мы будем рассуждать примерно следующим образом.

Сначала мы будем предполагать, что написанный с неизвестными пока коэффициентами ряд Фурье можно (в смысле теоремы 3 § 4 гл. 2) почленно дифференцировать нужное число раз. Выписывая производные и решая получающиеся уравнения, мы будем находить

121

интересующие нас коэффициенты Фурье. Это будет означать, что если ряд Фурье поддается почленному дифференцированию (и притом столько раз, сколько это требуется), то он является вполне определенным, найденным нами рядом. Если теперь из рассмотрения полученных коэффициентов будет видно, что этот построенный, вполне определенный ряд действительно почленно дифференцируем, то все операции, проделанные фактически именно над этим рядом, были законными, найденные коэффициенты Фурье – искомые. Если же ока-

(рис. 3.1). Мы ограничимся рассмотрением плоского изгиба, т. е. будем предполагать, что все прикладываемые к балке усилия действуют в плоскости x0у.

Для каждой системы нагрузок R, приложенных к балке, будем через MR(x) обозначать вызываемый ею (а также порожденными ею реакциями опор) изгибающий момент в сечении х этой балки.

122

Рассмотрим теперь две прикладываемые к балке системы нагрузок, R и S. Мы будем при этом предполагать, что изгибающие усилия, порождаемые нагрузкой S, приложенной к предварительно ненагруженной балке, совпадают с дополнительными изгибающими усилиями MR+S - MR, возникающими в балке, к которой предварительно приложена нагрузка R. Иными словами, мы будем считать, что

Разумеется, такое предположение носит чисто физический ха-

рактер должно каждый раз проверяться. Ясно вместе с тем, что если нагрузка R не очень с льно изменяет прямолинейную форму балки, а нагрузка S – поперечная, то предположение (3.1) не противоречит обстоятельствам дела.

гибающегочерез αR нагрузку R, умноженную на α (т. е. увеличенную в α раз, если α>1, уменьшенную в 1/α раз, если α <1), мы можем получить, что

Из (3.1), предполагая непрерывность зависимости значения из-

момента MR(х) в каждой точке х от нагрузки R и обозначая

Возьмем балку, на которую действует распределенная нагрузка R, имеющая некоторую интенсивность q (х) в каждой точке х. Пусть характер прикрепления балки к несущим ее конструкциям таков, что реакция левой ее опоры состоит из силы Р и момента М (см. рис. 3.1). В этом случае изгибающий момент MR(х) в поперечном сечении балки

с абсциссой х равен, как легко подсчитать,

123

Дифференцируя это выражение по х (последнее слагаемое дифференцируется, во-первых, как интеграл с переменным верхним пределом х, а во-вторых, как интеграл, зависящий от параметра х), мы получаем

тов, приложенных к ее концам, которые равны по величине М, противоположны по направлению и изгибают балку выпуклостью вниз (т. е. в направлении возрастания v). Будем считать, что никаких других усилий к балке не приложено. В результате действия на балку двух указанных моментов правый конец балки повернется относительно левого на некоторый угол, который мы обозначим через φ

Это предположение соответствует закону Гука о пропорциональности деформаций усилиям. В условиях выбранных нами направлений изгибающих моментов и осей координат (х – направо, a v – вниз) угол φ оказывается отрицательным. Поэтому должно быть f <0. Считая впредь рассматриваемую балку однородной по длине,

124

можно показать, как это делается во всех курсах сопротивления материалов, что

сечения относительно горизонтальной прямой, лежащей в плоскости этого сечения и проходящей через его центр тяжести, а Е – модуль Юнга матер ала балки. В целях полноты изложения напомним этот

что каждое поперечное сечение ненагруженной балки после приложения к ней изгибающей нагрузки остается плоским и лишь поворачивается около оси изгибающего момента. Формально это равносильно предположению о том, что абсолютное удлинение l в направлении каждой нормали к сечению есть линейная функция координаты z, характеризующей (pис. 3.3) положение этой нормали по высоте балки. Тем самым линейной функцией координаты z должно быть и нормальное напряжение σ в каждой точке сечения.

Заметим, что при отсутствии продольной нагрузки на балку равнодействующая внутренних продольных усилий в каждом ее сечении должна быть равна нулю. Значит, при одних значениях z нормальные

125