Материал: 2018

Тогда b

n

1

– общий член ряда для сравнения.

n

n

n

С

3

n 3

lim

an

lim

n arctg

n lim

3.

n b

n

n 1

n n 1

n

Задачи

1

Так как предел конечен и не равен нулю, а ряд

расходится

n

n 1

(ряд Д р хле с p 1 ), то данный ряд расходится.

2

для решения в аудитории

Задача 1. Исследовать сходимость ряда

, если

u

а)

б1 )

n 1 n

1

un

А

2n

3 n .

n

;

un

Д

Задача 2. Исследовать на сходимость ряд un

с помощью предель-

ного признака сравнения, если

n 1

а)

2n2 3

б)

3n3 2n2 4

в)

2

un

;

un

6n5 2n4 1;

un

n

sin

.

n2 1

n3

5n2 1

Ответы

И

Исследовать на сходимость ряд un

с помощью предельного при-

знака сравнения.

n 1

С8 2

2.

1

1.

u

2n

2

5n 1

;

un

;

n

n6 3n2 2

n2 n

и

3.

u

n

n

2

n

3

;

4.

u

n

3

n

;

n n 9n

(n 1) n

5.

бА4n 4n 1

1

un

;

un

n(n 1)(n 2)

;

(3n 2)(3n 1)

7.

un

3

n

1 ;

8.

un

1

;

(2n 1) 53

n

n3

n

n

9.

u

2n n2

;

10.

un

sin

;

n

2

5n n5

4n

Д

11.

un

tg

n

;

12.

un

2n

1

;

2

n

3

n

3

n

2

13.

un

n 1

arcsinn2

1

;

14.

un

n

2

;

n 3

2

n

6

4n

3

2n

2

1

15.

2

16.

И

un

3n

5n 6

3 2n

n7 4n5 2

;

un 2n 4 4n4 2n2 3;

17.

u

3n 2

;

18.

un

n tg

1

;

n4 3n2 2n

n

10n3

19.

un

n 1 arctg

1

;

20.

un

n

;

(n 2)2

(n 1)(n 2)(n 3)

21.

un

n2 2n 5

22.

un

3n

;

;

n4 2n2 5

32n 3n 1 4

23.

un

n sin

24.

un

1

;

;

2n3

(4n 1)(4n 3)

25.

u

sin

2 n

26.

u

1

tg

2

n

;

n

;

4n2

n

1

n

27.

3

28.

;

un

n

;

un n2 tg4

n5 2

n

29.

arctg

30.

un

3n

.

4

n

un

;

6n n 1

3

Сn 3

§5. Пр знак сходимости Даламбера

Мы в

пр меры весьма медленно сходящихся и весьма

дели

медленно расходящ хся рядов. В их число прогрессии не входят: если

в прогресс

знаменатель меньше единицы,

то прогрессия довольно

бА

Теорема 1. Признак

(Жан Лерон Даламбер

(1717 – 1783) – французский математик). Пусть дан ряд (1.19) с поло-

жительными членами. Допустим, что

an 1

Даламбера

lim

n an

существует и

an 1

lim

.

(1.21)

n an

И

an

находиться в окрестности 0;q , т.е. для всех n N имеем

an 1

q 1.

an

и

K

Знач т, для n N , N 1, N

2,... получаем неравенства

С

aN 1 qaN ,

q2aN ,

aN 2 qaN 1

2

3

бАn

aN 3 qaN 2

q aN

1

q aN

,

aN K qaN K 1 q aN ,

Так как 0 q 1, ряд из членов бесконечно геометрической про-

грессии aN aN q aN q2

сходится; следовательно, по замечанию

1 и ряд (1.19) сходится.

an 1

Д

N ,

Пусть 1, т.е.lim

1. Тогда, начиная с некоторого

an 1

an

1 при n N , т.е. при n N , an 1 an an 1 aN .

an

3n

3

6

9

3n

.

3

5

2n 1

n 12n 1

Решение. Имеем

3n 1 2n 1

a

n 1

3n 1

3n

lim

lim

:

lim

3n 2n 1

n an

n 2 n 1 1 2n 1

n

6

1

1

6

lim

n

n2

1.

n

3

6

6

n

ледовательно, признак Даламбера не дает ответа на вопрос о

ходимое

сходимости данного ряда. Но так как

Сlim a lim

3n

lim

3

3

0,

т.е. не выполняется необ-

n

n

n 2n 1

n

2

1

2

n

бА

услов е сход мости ряда,

значит,

предложенный ряд расхо-

дится.

Пр мер 2. Исследовать на сходимость ряд

1

1

1

1

.

32

n 2 2

n 1 n 2 2

4

2

Решение. Для данного ряда получаем

a

1

1

n 2 2

n 1

Д

lim

lim

:

n 2 2

lim