Материал: 2018

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

отсюда по теореме 1 получаем сходимость исходного ряда

n 2 2

n 1 n 2 2

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

n 1 2n 1 !

3! 5!

2n 1 !

Решен е. Напомн м,

2n 1 !

2 1 1 2 2 1 2 3 1 2 n 1 1 2n 1

3 5 7 2n 1 2n 1 .

Имеем

бА

lim

n 1

lim

;

lim

n a

2 n 1 1 !

2n 1 !

2n 3 !

lim

3 5 7 2n 1

lim

2n 1 !

n 3 5 7 2n 1 2n 3

n 2n 1 ! 2n 3

lim

0 1.

n 2n 3

Следовательно, по признаку Даламбера данный ряд сходится.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд

n 1

Решение. Имеем

n 1

n 1 5n

n 1

1 5n

lim

limДlim

n an

n 5n 1

n n

n 1

lim

n 5n

Следовательно, по признаку Даламбера данный ряд сходится.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд

n 1

Решение. Имеем

				a	n 1														2n 1												2n												2n 1 8 6n
		lim			n 1		lim																			:											lim
		lim					lim															n	1			:											lim										n	8 6				n 1
		n an															8 6					n	1				8 6						n					n 2									n					n 1
		n an									n						8 6										8 6											n 2
С																																		n				8															8
																														2 6											1											2				1
																														2 6											1											2				1
																																					6n																6n
		lim				2n	2 8 6n														lim																6n											lim					6n
		lim																			lim																8											lim						8
		n 2n 8 6 6n																						n								n					8													n				8	6
																													6											6
																																																					6n

При																																				6n
При																																																			.
	2 1		1	1,			следовательно,																						по признаку Даламбера ряд сходится.
6		3																																														8
	решен						воспользовались тем, что lim																																											0.
																																								n 6n
		Пр мер 6. Исследовать на сходимость ряд
														2	n				3				5						7					11												2		n	3
														2					3				5						7					11												2			3

											n 1						n!						1						2!					3!														n!
		Решен е. Имеем																																														2n 1 3 n!
				an 1														2n 1 3 2n 3																														2n 1 3 n!
		lim					lim																			:											lim
		lim					lim																			:											lim											n
		n an																	n 1 !												n!								n 2									n		3 n 1 !
		n an									n								n 1 !												n!								n 2											3 n 1 !
													2				n			2			3						n!

																							2		n
																							2
		lim				бА
		n											3
						2n	1											1 2 3 n n 1
						2n	1						2n					1 2 3 n n 1
													2n
													3																															3
										2									n!																			2
										2			2			n			n!																			2				2				n
													2																													2
		lim																								limД
		lim								3																limД
		n								3					n! n 1															n									3						n 1
						1																													1
						1					2n																								1				2n
											2n																												2n
						2				3										1								2														следовательноИ, по признаку
												lim																			0 0 1,
		lim							2n
		lim																									1
		n				1				3				n n 1													1
						1		2n

Даламбера ряд сходится.

Пример 7. Исследовать на сходимость ряд

n 1

Решение. Имеем

n 1

5n 1

lim

n an

10 n

10 n 1

5n 1 10 n 2 20

5 n 2

lim

n 1

10 n

2 20

С20

lim5

5 lim

5 120

5 1,

следовательно, по

Даламбера

признаку

ряд расходится.

Без доказательства сформулируем признак Коши, который целе-

сообразно использовать, когда

является степенью некоторого вы-

n 1

ражения, например an

, или an

Дn

§6. Признак сходимости Коши

Сравнение рядов с прогрессиями приводит ещё и к другому при-

знаку сходимости, принадлежащему Коши.

Теорема 1 (признак Коши). Пусть ряд (1.19) с неотрицательны-

ми членами. Допустим, что

lim

существует и

limn

(1.22)

Тогда:

если 1, то ряд (1.19) сходится;

если 1, то ряд (1.19) расходится; если 1, то ряд (1.19) может быть как сходящийся, так и рас-

ходящийся (см. приведенные ниже примеры 4 и 5) [6].

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

3n 2

n 1 3n 2

Решение. Имеем

, следо-

lim n an

lim n

lim

3n 2

n 3n 2

Коши

вательно, по пр знаку

ряд сходится.

Пр мер 2. Исследовать на сходимость ряд

n 1 n2

3 4

n 1 n2

бА

n 1

Решен е. Напомн м, что lim 1

e 2,7. Имеем

n 1

lim

1 n

e 1,

следовательно,

по признаку Коши ряд расходит-

lim 1

ся.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

n2 2n

8 16

n2 2n

n 2

49Д

Решение. Имеем

lim

Иn 2n

lim

n2 2nlim

n 3n2 1

		1	2		n
n							1	n
				n					0 1,
	lim					lim
							3
	n			1		n
		3
			n2

следовательно, по признаку Коши ряд сходится.
		Пример 4. Исследовать на сходимость ряд
							1 n					1									1				2							1		n
				1					1								1												1						.
				1					1			1					1				2								1				n		.
			n 1				n					1									2												n
		Решение. Имеем

																					1			n								1
					lim n an																1			n								1			1.
											lim n						1									lim			1
											lim n						1					n				lim			1			n
					n						n											n				n						n
	ходимое
		ледовательно, по признаку Коши данный ряд исследовать
С																											1 n
нельзя. другой стороны, lim an																			lim 1												e 0, следовательно,
											n									n							n
			бА
не выполняется нео															условие сходимости ряда, значит, дан-
ный ряд расход тся.
		Пр мер 5. Исследовать на сходимость ряд
									1						1				1								1			.
											1																n2			.
								n 1n2						2		2			32								n2
		Решение. Используя равенство lim 1, получаем
																							0
																				1		2
																				1		2
									1									1	n
									1									1	n
																			Д
		lim n an			limn					2	lim							n							12		1,				но этот ряд сходится,
		n			n				n	2	n							n
									n

так как если отбросить первых два члена, то он совпадает с рядом
1		1				1												1						, который является сходящимся


32		42			n 2 2								n 1 n 2 2															И
32		42			n 2 2								n 1 n 2 2

(см. пример 2 §5).

§7. Интегральный признак сходимости

Как видно из доказательства признака Даламбера, а признак Коши доказывают аналогично, эти два признака дают ответ о сходимости только тех рядов, порядок малости членов которых не меньше, чем у ряда геометрической прогрессии, т.е. только для быстро сходящихся рядов. С другой стороны, эти признаки устанавливают расходимость только таких рядов, у которых общий член даже не стремится к нулю. Эти признаки, следовательно, являются слишком грубыми.

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
_РГР № 3