Материал: 2018

4.08а)

2n 1

;

б)

3n

;

в)

ln4 5n 2

.

n 1

2

n

n 1 6n 1 n

n 1

5n 2

n 1 n

4.09а)

n

; б)

;

в)

e

n

.

n 1

n 13n

n 1 en

n 1 n

С

3

arctgn

2n

n

4.10а)

;

б)

5

;

в)

.

n 1n n 1

n 1nn

n 1 1 n2

4.11а)

n!

;

б)

nn

;

в)

1

.

и

n 1arctgn n2 1

n 13n

n 15n

2

n

1

n

n

ln

3

n

4.12а)

5n

;

)

en

;

в)

n

.

n 1

n 1

n 1

бА

4.13а)

2nn

1 ;

)

4n2

1

n

в)

n 3n2 .

;

n 1 3 1

n 1 n 1

n 1

4n 1

100n2 n

3n2 1

4.14а)

5

n

;

)

2

;

в)

3

n

.

n 1

n 1 n

100

n 1 n

n!

4n 1 n

3n3 2

4.15а)

;

)

;

в)

.

3n

n 1n2

1

n 1

n 1

n

6

n

1

5n

2

1

4.16а)

;

б)

lnn n 1 ;

в)

.

n 1 n 2

n 1

2n 1 n2

n 1

n

2n

3

4.17а)

;

б)

;

в)

n

.

n

1

2n

3

n

n 1

n 1

n 1

3

1

n! n

n!

e

n

4.18а)

;

б)

Д; в) .

1

n 1n

2

n 1 2n

n 1n2

4.19а)

7n 1

;

б)

n 1 n

;

в)

ln n 1 1

.

2

n 1

n 12n 1

n 1

n 1

n 3

2n

5n 1

n

Иn

4.20а)

;

б)

;

в)

.

5

n

4n

2

n 1

n 1

1

n 1

n

2

1

n!

3n2 1

n

2n ;

2n

4.21а)

;

б)

в)

.

2n

2

n 15

1

5n

3

n 13 n2 1

n 1

n 1 !

4n 1 n

4.22а)

;

б)

;

в)

nlnn.

7n

n 1 n 2n

n 1

n 1

2n 3n

n2 3n n2

2

4.23а)

;

б)

;

в)

n

n

1.

n

5n

2

1

n 1 6

n 1

n 1

2n 1

2n

ln n 1

4.24а)

;

б)

;

в)

.

n 1

n 1 2n 1 !

n 1 n 1 n

n 1

n1

3n 1 n

3n2 1

4.25а)

;

б)

;

в)

.

2

n

1

5n

3

n

3

n

n 1

n 1

n 1

С

§8. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды

Определен 1. Ряды, содержащие как положительные, так и

члены, называются знакопеременными.

отрицательные

Пусть дан знакопеременный ряд

a1 a2 an .

(1.23)

an

n 1

бА

Рассмотрим ряд, состоящий из модулей всех членов ряда (1.23):

a1 a2

Д

(1.24)

a3 an .

1 n 1

1

1

1

n 1

1

1

1

.

2

2

2

32

4

2

n2

n 1 n

1

1

1

1

1

,

1

22

32

4

n2

2

n 1n2

сходится (см. пример 1, §7), следовательно, и данный ряд сходится.

С

Знакопеременный ряд (1.23) называется абсо-

Определение 2.

лютно сходящимся, если сходится ряд (1.24), составленный из моду-

лей его членов.

Определен е 3. Ряд

a1

a2 an

цательнымичленами.

если

он

сходится, а ряд

называется

условно

сходящимся,

a1

a2

an

, составленный из модулей его членов, расхо-

дится.

бА

Теорема 1 показывает, что исследование сходимости знакопере-

менных рядов свод тся к исследованию сходимости рядов с неотри-

Мы огран ч мся

сследованием знакочередующихся рядов, яв-

редующимися рядами вида

Д

a

a

a

(1.25)

2

3

1 n 1a

n

,

1

ся ряда.

И

Теорема 2 (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд (1.25)

сходится, если:

его члены убывают по модулю,

a1 a2 a3 an

;

(1.26)

его общий член стремится к нулю,

lim an 0.

(1.27)

n

При этом сумма S ряда (1.25) удовлетворяет

неравенствам

0 S a1.

не отрицательны, следовательно, S2n 0.

С

не убывает при n ,

Кроме того, последовательность S2n

ввиду того, что

S2n 2 S2n a2n 1 a2n 2 S2n.

другой стороны, S2n можно представить в виде

причемS 0.

a2n 1 a2n.

S2n a1 a2 a3 a2n 2

Так как каждое выражение в скобках не отрицательно и an не

отрицательно, то последовательность четных частичных сумм не

бА

S,

убывает огран чено сверху; значит, она имеет пределlim S2n

n