Материал: 2018

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Они неприменимы к рядам с медленно растущими частичными суммами, каким является, например, гармонический ряд.

формулируем сейчас признак, который в некоторой степени восполняет этот пробел.

Теорема 1 (интегральный признак). Пусть дан ряд (1.19) с по-

ложительными членами, причем a1 a2

и f n та-

кая непрерывная монотонно убывающая функция,

что f n an . То-

гда данный

ряд

несобственный

интеграл

f x dxодновременно

ский

сходится

ли расход тся.

СПр мер 1. Исследовать на сходимость обобщенный гармониче-

ряд

бА

0, 1.

n 1

Решен е. Рассмотрим функцию f x

, x 1. Эта функция

непрерывна,

монотонно у ывает и

f n

следовательно, можно

применить интегральный признак. При 1 имеем

M dx

lim

M 1 x

M 1

lim

M1 11

lim M1 1 .

1 M

Здесь необходимо рассмотреть два случая:

1 0,

т.е.

или 1 0

;

следовательно,

стремится к нулю,

если M стремится к бесконечности.

Тогда

lim

1 x

1 M M 1

таким образом, при 1 данный ряд сходится.

частности,

ряд

сходится, т.к.

1 0,

т.е. 1.

Тогда

неограниченно возрастает при M ,

стремящемся к бесконечности, следовательно,

lim M1 1

1 x

1 M

и данный ряд расходится.

B частности, ряд 1

расходится, так как

3 2

3 3

3 n

Рассмотрим

Пр мер 2. Исследовать на сходимость ряд

ln3 n 2

ln3 3

ln3

4 ln3 5

ln3 n 2

убывает

n 2

n 1

n 2

f x

ln3 x 2

Решен е.

функцию

x 2

, x 1. Эта

функция непрерывна,

монотонно

f n

ln3 n 2

, следо-

n 2

вательно,

можно

применить

интегральный

признак

ln3 x 2

M ln3 x 2

dx lim

x 2

M 1

ln4 x 2 M

lim

x 2 d lnАx 2 lim

M 1

lim

ln4 M 2 ln4

3 ,

M 4

т.к.ln4(M 2) неограниченно возрастаетДпри M , стремящемся к бес-

конечности. Следовательно, ряд расходится.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

n 1e

e И

Решение. Рассмотрим функцию f x

, x 1. Эта функция

непрерывна, монотонно убывает и

, следовательно, можно

применить интегральный признак

2x dx

dx lim

xdx

lim

1 ex2

M 1

lim e

lim

2M eM

.к. eM 2

неогран ченно возрастает при M ,

стремящемся к бесконеч-

. Следовательно, данный ряд сходится по интегральному при-

ности

знаку.

Вывод. Интегральный признак Коши является, как видно из его

формулировки, нео ходимым и достаточным признаком. Это значит,

что он устанавливает сходимость

сходящегося ряда и расхо-

любого

димость любого расходящегося ряда из сферы своей применимости.

Иными словами, интегральный признак является идеально чувстви-

А тельным. В этом отношении онДнапоминает критерий сходимости

Коши. Естественно, что все такие «необходимые и достаточные» признаки, если только они сколько-нибудь широки, неизбежно оказываются по отношению ко многим рядам непрактичными. В этом можно усмотреть проявление весьма общей закономерности: чем шире и богаче возможности того или иного математическогоИаппарата, тем сложнее его логическая природа и тем труднее с ним управляться.

Как видно из рассмотренных выше примеров, путь непосредственного вычисления интеграла при применении интегрального признака сходимости не всегда приемлем. Правда, иногда можно прийти к цели путем каких-нибудь косвенных оценок величины этого интеграла, но это уже будет представлять собой самостоятельную задачу, иногда даже более трудную, чем анализ самого ряда.

Следовательно, при изучении рядов ограничиться одним только интегральным признаком сходимости нельзя, и необходимо использовать еще и другие признаки сходимости, быть может, не столь чув-

ствительные, как интегральный признак, но зато более удобные в обращении, более практичные.

Наконец, для того чтобы применение признака сходимости было не только принципиально возможным и практически выполнимым, но и действительно приводило к цели, признак должен быть достаточно

чувствительным.

Такими признаками очевидно являются признаки сходимости

Даламбера

Коши. Они весьма практичны и достаточно широки, но

зато малочувств тельны. Впрочем, как видно из рассмотренных выше

примеров,

х чувств

тельности будет хватать для ответа на весьма

большое ч сло теорет ческих вопросов и решения многих практиче-

задач.

Задачи для решения в аудитории

ских

с помощью при-

Задача 3.

Исследовать на сходимость ряд

знака Даламбера, если:

n 1

а)

;

) un

n n!

n ;

в)

3n 1

;

г)

д)

n2 1

;

(2бАn 1)! 2n 3 3

Задача 4. Исследовать на сходимость ряд an

с помощью ради-

n 1

кального признака Коши:

а)

б)

n 2 n2

в)

3n 5

n ;

;

(4n 3)

n 1

5n 4

г)

arctg

д)

nИ

;

3n2 2n

n 3

с помощью инте-

Задача 5. Исследовать на сходимость ряд an

грального признака Коши, если:

n 1

а)

;

б)

;

в)

3n2

;

1 n2

en3

г)

8 ln2 n

сходится

Ответы

3. а) Ряд расход тся,

) ряд расходится, в) ряд расходится, г) ряд схо-

) ряд сход тся. 4. а) Ряд сходится,

б) ряд расходится, в) ряд

бА5 1 e

, г) ряд сход

тся, д) ряд сходится.

5. а) Ряд расход тся,

) ряд сходится, в) ряд сходится, г) ряд расхо-

Индивидуальные задания

Исследовать сходимость следующих числовых рядов.

4.01а)

n 5

;

)

n 1 2n

;

в)

2 3n

n 1

n 1 n 1 ln n 1

Дn

3n 1

4.02а)

;

б)

3 5n

;

в)

n 1

3n 1

ln7 n

4.03а)

;

б) 2n

4n 5

;

в)

n 1n!

n 1

n 1 n

n2 1

5n 3

4.04а)

;

б)

;

в)

n 1

n 15n 1

5n 1 2n

4.05а)

;

б)

;

в)

n 13n

n 1 7n

Иn 1 n 1 ln n 1

4.06а)

2n 3

;

б)

;

в)

n 1 3n

n 1lnn n 1

n 1

2n 3

4.07а)

;

б)

n 1

;

в)

2n 1

n 12n

n 1

n 1n n

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
_РГР № 3