Материал: 2018

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

11.

3 2n

2 3

12.

un cos

n 1

;

un e

;

6n2 5n 4

13.

14.

un n2

1 sin

;

n 1

;

8n 7

15.

6 3n 22n

;

16.

2n2 3n 1

;

7 22n

3n 1

10n2 15n 3

С17. n 3

18.

2n 1 3n

sin

;

2n 1

19.

бА

20.

2n 1

и un

;

21.

n tg

;

22.

un cos

sin

;

10n 1

23.

5 2

2 5

24.

4n 1

2n 5

;

2 5n 1

100n

;

25.

;

26.

n 1

n 2

n2 4 9n2 1

;

27.

n 4

28.

cos

;

29.

cos

30.

2 4n 1

;

4n 1

5n 7

§4. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами. Признак сравнения

Существует довольно много примеров, позволяющих устанавливать сходимость или расходимость рядов. Все эти приемы называ-

ются признаками сходимости. В настоящее время известно большое число различных признаков сходимости рядов. С некоторыми из них

мы уже успели познакомиться. Так, например, сходимость ряда можно установить, составив последовательность его частичных сумм и выяснив, имеет ли эта последовательность конечный предел. Этот Сприем, очевидно, является необходимым и достаточным признаком сходимости рядов. Стремление к нулю члена ряда по мере роста его номера также является признаком сходимости ряда, уже только необ-

ходимым, но недостаточным (см. § 3).

К ч слу пр знаков сходимости можно отнести также всякого рода теоремы, позволяющие сводить выяснение вопроса о сходимости некоторого данного ряда к аналогичному вопросу о другом ряде, который устроен олее просто или хотя бы более знакомый.

Эти теоремы о ычно состоят в сравнении членов исследуемого ряда с членами другого ряда, поведение которого уже выяснено. По-

Если bn an для любого n, то из сходимости ряда (1.19)следует сходимость ряда (1.20) и сумма ряда (1.20) не превосходит сумму ряда (1.19); из расходимости ряда (1.20) следует расходимость ряда

этому	называются признаками сравнения. По существу,			все рас-
они
сматриваемые в этой главе признаки сходимости являются такими
признаками сравнен я.		В некоторых из них производится сравнение
исследуемого ряда с конкретными стандартными рядами (например, с
геометрическими прогрессиями). В этих случаях «сравнительная» при-
родапризнакавнешнезатушевывается,но,разумеется,непропадает.
Бездоказательствасформулируемследующиепризнакисравнения.
Теорема 1. Пусть даны два ряда с неотрицательными членами:

	бА				(1.19)
	an	a1 a2 an ,	an 0.		(1.19)
	n 1

	bn b1 b2 bn , bn		0.		(1.20)
	n 1	Д
		Д
		И

(1.19).

Замечание 1. Утверждение теоремы остается в силе, если существует натуральное N такое, что для любого n N выполняется не-

равенство bn an .

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд
1		1	1		1
						.
			lgn
	lg2	lg3		n 2 lgn

Решение. Сравним данный ряд с гармоническим.

Имеем lnn n, значит,															1								1	.
Имеем lnn n, значит,															lnn									.
															lnn						1		n			1				1							1
Так как гармонический ряд																					1					1				1							1	расходится, то
Так как гармонический ряд																														4								расходится, то
С																				2					3					4							n
и данный ряд расходится.
Пример 2. Исследовать на сходимость ряд
										1			1									1													1					.
							1

										2				3
									3	2			3	3								3				n									n 13 n
дится
Решен е. Сравн м данный ряд с гармоническим рядом. Имеем
3 n n, знач т,				1				1 .
				3			n			n
	бА
Так как гармон ческий ряд расходится,																																			то и данный ряд расхо-
.
Пр мер 3. Исследовать на сходимость ряд
		1							1					1											1																		1	.
	1							n 52					n 53													n 5n					1													.
		n 5						n 52					n 53													n 5n															n 1n 5n
Решение. Сравним данный ряд с рядом геометрической
прогрессии 1			1					1						1		, который сходится. Имеем
прогрессии 1								52						5n		, который сходится. Имеем
		5						52						5n
																	1								1			.
																n 5n									5n			.
Следовательно, данный ряд сходится.																																							1
																																							1
Пример 4. Исследовать сходимость ряда																																										.
Пример 4. Исследовать сходимость ряда																																										.
																			Дn 1 n
Решение.					Заметим,								что					lim					un = lim											1		0, т.е. необходимое


																	n											n							n
условие сходимости выполнено. Частичная сумма
		1								1				1						1												1								1
Sn	1					...																			...										n							И

		2									n				n							n											n
		2									n				n							n											n									n	,
поэтому lim				Sn				lim				n		1				lim											,						а это значит, что ряд
														1													n

															n
	n								n						n					n

расходится по определению.

Несмотря на простоту формулировки признака сравнения, на практике более удобна следующая теорема, являющаяся его следствием.

Теорема 2. Если аn 0, bn 0 и существует предел

lim

h, где h – число,

отличное от нуля, то ряды

ведут

n b

одинаково в смысле сходимости.

В качестве ряда, спользуемого для сравнения с данным, часто

выбирают

ряд в да

;

p 0. Такой ряд называется рядом Дирих-

n 1 np

ле. В пр мерах 2

ыло показано, что ряд Дирихле с p

расход тся. Можно показать, что ряд

при р>1сходится, а при

р<1 расход тся.

n 1

Если p 1, то получаем гармонический ряд

...

... .

n 1 n

Гармонический ряд расходится.

Пример 5. Исследовать сходимость ряда

бn 1 А2 n

е 1

n 1

Решение. Возьмем в качестве вспомогательного гармонический

ряд, составим соотношение

и вычислим его предел, пользуясь правилом Лопиталя:

en 1

lim

lim e

Поэтому рассмотренный выше ряд должен расходиться.

2n 1

Пример 6.

Исследовать на сходимость ряд

с по-

мощью предельного признака сравнения.

n 13n2 5n 1

Решение. Так как при достаточно больших

n 2n 1 ~ 2n, а

2n 1

3n2 5n 1 ~ 3n2,

то

Выберем для

3n2 5n 1 3n2

3 n

расходится

, т.е. b

сравнен я с данным гармонический ряд

n 1

lim an lim

(2n 1) n

(см. [5]).

n b

n 3n2 5n 1 3

бА

Поскольку предел конечен и отличен от нуля и гармонический

ряд расход

, то

и данный ряд.

Пр мер 7. Исследовать на сходимость ряд

с по-

мощью предельного признака сравнения.

n 14n4

5n2 1

Решение.

При достаточно

ольших n имеем n2 3n 4

n2 ,

4n4 5n2

1 ~ 4n4 , поэтому

– общий член ряда, с кото-

рым будем сравнивать данный:

lim

n lim

n2 3n 4 n2

(см. [5]).

4n4

5n2

n b

Ряд

сходится (ряд Дирихле с p 2),

поэтому данный ряд

n 1 n2

также сходится.

Пример 8. Исследовать на сходимость ряд

n arctg

n 1

помощью предельного признака сравнения. И

Решение.

lim arctg

поэтому

бесконечно

малую

n 1

arctg

можно заменить на эквивалентную ей при n величину

n 1

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
_РГР № 3