Материал: 2018

Пример 1. Найти область сходимости ряда

ряда состоит в том, чтобы | х/2 | <1. Таким образом, область сходимо-

х> 1 расход тся при х<1. Следовательно, область сходимости этого ряда состо т з всех значений х, для которых х> 1, или, короче, область сход мости этого ряда описывается неравенством х> 1.

Пример 3. Найти о ласть сходимости ряда

Решение. Члены функционального ряда (2.5) при любом х меньше соответствующих членов ряда обратных квадратов. Так как последний ряд сходится, должен сходиться и ряд (2.5) при любом х. Таким образом, областью сходимости ряда (2.5) является множество всех вещественных чисел.

Пример 4. Найти область сходимости ряда

0!+х1!+х22!+ ... +хпп!+И...

при любом значении х ≠ 0 расходится (это проверяется без труда при помощи признака Даламбера). Следовательно, область сходимости

этого ряда исчерпывается числом 0.

Пример 5. Найти область сходимости ряда

51

Решение. Рассмотрим ряд (2.6).

Так как sin x 1, члены этого ряда не меньше соответствующих членов гармонического ряда, начиная с третьего:

который расходится. Следовательно, ряд (2.6) не сходится ни при каком значен х. Можно сказать, что область сходимости этого ряда пуста.

Вспомн м некоторые факты, касающиеся сходимости последофункц й.

Определен . Последовательность {un(x)} сходится к функции u(x) на отрезке [a,b], если для лю ого числа >0 и любой точки х0 из рассматр ваемого отрезка

Аu(x0) lim un(x0),

n

т.е. существует номер N = N( , x0), такой, что неравенство

u(x ) u (x )

выполняется при n>N.

0 Дn 0

При выбранном значении >0 каждой точке отрезка [a,b] соответствует свой номер и, следовательно, номеров, соответствующих всем точкам отрезка [a,b], будет бесчисленное множество. Если выбрать из всех этих номеров наибольший, то этотИномер будет годиться для всех точек отрезка [a,b], т.е. будет общим для всех точек.

Заметим, что в этом определении п0 находится по каждому х0 из нашей области, т. е., вообще говоря, зависит от х0. Несколько иной факт описывается в следующем определении.

Определение. Последовательность {un(x)} равномерно сходится к функции u(x) на отрезке [a,b], если для любого числа >0 существует номер N = N( ), такой, что неравенство

u(x) un(x)

выполняется при n>N для всех точек отрезка [a,b].

52

§3. Функциональные ряды. Критерий Коши

Дадим другое определение сходимости функционального ряда в точке.

Определение. Частными (частичными) суммами функцио-

нального ряда un(x) называются функции

Определен е. Ряд un(x)называется равномерно сходящимся

n 1

на отрезке [a,b], если равномерно сходится на этом отрезке последовательность частных сумм этого ряда.

Теорема. (Критерий Коши равномерной сходимости ряда)

Д

Для равномерной сходимости ряда un(x)необходимо и доста-

точно, чтобы для любого числа >0 существовал такой номер N( ), что при n>N и любом целом p>0 неравенство

выполнялось бы для всех х на отрезке [a,b].

Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса) (Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик) [9].

un 1(x) un 2(x) ... un p (Иx)

Ряд un(x)сходится равномерно и притом абсолютно на отрез-

n 1

ке [a,b], если модули его членов на том же отрезке не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда с положительными членами :

а1 а2 ... аn ...,

54

т.е. имеет место неравенство

un(x) аn .

1

этом звестно, что о о щённый гармонический ряд

при =3>1 сход тся, а значит в соответствии с признаком Вейерштрасса сследуемый ряд равномерно сходится и притом в любом интервале.

т.е. по признаку Вейерштрасса на этом отрезке исследуемый ряд сходится, а на интервалах (- , -1) (1, ) расходится.

§4. Свойства равномерно сходящихсяИрядов Теорема 1. (Непрерывности суммы ряда)

Если члены ряда un(x) – непрерывные на отрезке [a,b] функ-

n 1

ции и ряд сходится равномерно, то и его сумма S(x) есть непрерывная функция на отрезке [a,b].

Теорема 2. (Почленное интегрирование ряда).

Равномерно сходящийся на отрезке [a,b] ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку [a,b] , сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку.

55