Материал: 2018

un (x)dx un (x)dx;

, [a,b].

n 1

n 1

Пример. Найти сумму ряда

С

1 х

2

х4 х6... 1 n x2n ... .

Решение. Функциональный ряд

1 х2 х4

х6... 1 n x2n ...

прогрессией

сходится равномерно при |

х | ≤ α < 1. И как легко видеть, он является

геометр ческой

, сумма которой равна

1

.

бА

1 х2

Следовательно, получаемый почленным интегрированием ряда

(5.45) от 0 до х < 1 ряд

х3

х5

n

x2n 1

х

5

... 1

...

3

2n 1

также равномерно сходится при |х|≤ α <1, и его сумма равна

1

x

Д

1 х2dx arctgx

0 arctgx.

Теорема 3. (Почленное дифференцирование ряда).

Если члены ряда

un(x), сходящегося на отрезке [a,b], пред-

n 1

ставляют собой непрерывные функции, имеющие непрерывные про-

изводные, и ряд, составленный из этих производных un(x), сходит-

n 1

ся на этом отрезке равномерно, то и данный ряд сходится равномерно

и его можно дифференцировать почленно.

(x)И

d

du

n

un (x)

.

dx n 1

n 1

dx

С

§5. Степенные ряды. Определение. Область

сходимости

и

Определен е 1. Степенным рядом называется выражение вида

n

a0 a1 x x0

a2 x x0

2

an x x0

n 0

x x0

n

an

,

(2.7)

где

бА

x незав с мая

переменная;

x0

фиксированное число;

a0,a1,a2, ,an, постоянные коэффициенты.

Если в ряде (2.7)

положить

x a, где a некоторое число, то

получим числовой ряд

a x

n

a

a a x

a

a x

2

a

n

0

0

0

2

0

n 0

1

a x n .

a

n

(2.8)

0

новкой x a, является сходящимся рядом.

При этом a называется

точкой сходимости ряда (2.7).

И

Пример 1. Степенной ряд

Д2 n

x 1

n

1

x 1

x

1

x

1

(2.9)

5n

5

52

5n

n 0

сходится в точке x 0 и расходится в точке

x 24. Действительно,

подставляя в (2.9)

x 0, получим числовой ряд

1

1

1

, который, как сумма членов ряда геометриче-

52

5n

5

1

ской прогрессии со знаменателем q

, сходится. Данный степенной

5

ряд

расходится

в точке

x 24,

так

как

числовой

ряд

1 5 52

5n

является расходящимся в силу невыполнения

необходимого условия сходимости числового ряда.

Определение 3. Множество всех точек сходимости степенного

ряда (2.7) называется областью сходимости ряда.

Переходим к выяснению структуры области сходимости степен-

С

ного ряда.

Если произвести замену x x0

z, то степенной ряд (2.7) при-

мет вид

ничиться

z2 a

zn .

a

n

zn

a

0

a z a

2

n

n 0

ледовательно, при изучении степенных рядов мы можем огра-

степенными рядами вида

б

xn

a

a x a

x2

a

xn .

(2.10)

. a

n

0

2

n

n 0

Замет м, что лю ой степенной ряд (2.10) сходится в точке x 0,

А

сумма

действ тельно, если подставить в (2.10)

x 0

,

получим ряд,

которого равна a0 . Таким о разом, точка x 0 входит в область схо-

димости любого степенного ряда (2.10).

Д

§6. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда

Теорема 1 (Теорема

беля. Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829) –

норвежский

математик).

Если

степенной

ряд

x2

xn

xn

И

a

a x a

... a

... a

0

2

n

n

сходится при x = x1 , то он

1

n 0

сходится и притом абсолютно для всех

x

x1

.

Доказательство. По условию теоремы, так как члены ряда ог-

раничены, то

a

n

xn

k,

1

где k– некоторое постоянное число. Справедливо следующее неравен-

ство:

a

xn

a

xn

x

n

k

x

n

.

n

n

1

x

x

1

1

С

x

n

этой прогрессии

по условию теоремы меньше единицы, следова-

x1

тельно, эта прогрессия представляет собой сходящийся ряд.

Поэтому на основании признака сравнения делаем вывод, что

ряд

anxn

сход

тся, а значит, ряд anxn

сходится абсолютно.

Если

Так м образом, если степенной ряд a xn сходится в точке х1,

то он абсолютно сход тся в лю ой точке интервала длины 2

х1

с цен-

тром в точке х = 0.

образом

то он расходится

Следств е.

при

х = х1

ряд расходится,

для всех

x

x1

.

, для каждого степенного ряда существует такое

Так м

полож тельное ч сло R, что при всех х таких, что

x

R ряд абсо-

лютно сходится, а при всех

x

R ряд расходится.

Рассмотрим довольно часто встречающиеся степенные ряды

(2.10), для которых, начиная с некоторого номера, все an 0 и суще-

an 1

Даламбера

ствует предел lim

. Вопрос о сходимости таких рядов может

a

n

А

n

быть решен с помощью признака

, примененного к ряду

a

a x

x2

a

xn

,

(2.11)

0

a

2

n

1

Имеет

a

n 1

составленному из модулей членов ряда (2.10).

место следую-

щая теорема.

Теорема 2 (о структуре области сходимости степенного ряда).

Пусть существует конечный или бесконечный предел

lim

.

(2.12)

an

n

Тогда:

а) если 0

и , то степенной ряд (2.10) сходится абсолют-

1 1

x

1

но в интервале

;

, т.е. при

, и расходится вне этого интер-

вала, т.е. при

x

1

;

б) если 0, то ряд (2.10) сходится при любом x;

в) если , то ряд (2.10)

сходится лишь при x 0.

Доказательство. Применяя признак Даламбера к ряду (2.11),

имеем

x 1,

(2.13)

(при

)

С

an 1

x

n 1

an 1

x

x

an 1

x

,

lim

an

xn

lim

an

lim

n

n

n

an

бА

откуда следует, что ряд (2.11) сходится, если

и расход тся, если

x

1.

1

а) Допустим, что 0 и . Тогда из (2.13)

получаем

x

,