Материал: 2018

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

lim	x2	0,

n 2n 1 2n 2

при любом x, т.е. ряд сходится на всей числовой прямой. Замечание. Если степенной ряд имеет вид (2.7), то, как мы от-

x x0 z

он приводится к степенному ряду

мечали,

подстановкой

вида

a z a

zn ,

(2.17)

n 1

интервалом2

будет

т.е.

или

интервалом

сход мости

которого

R;R ,

x x0

ли R x xo

R,или x0

R x x0 R. Следователь-

но,

сход мости ряда (2.7) будет x0

R;x0 R , а радиус

бА3 3

сходимости ряда (2.17)

(2.7) совпадают.

Пр мер 6. Найти о ласть сходимости степенного ряда

x 3

n 1 3

n 0 n 1 3

Решение.

Здесь x0 3,an

,an 1

n 1 3

n 1 1 3

n 2 3

R lim

lim

n 2 3

an 1

n 1

n 2

n 1

n 1 1 3

1 3

lim

lim 1

n 1

Следовательно,

при

ряд сходится при

x 3

1, т.е.

1 x 3 1.Исследуем ряд на сходимость в концах интервала. При

x 4 получаем числовой ряд

(2.18)

который

является

сходящимся

как

обобщенный

гармонический с

3. При x 2

1 n 1

имеем

, который абсо-

лютно сходится, т.к. сходится ряд (2.18). Следовательно, областью сходимости является отрезок 1;3 .

Задачи для решения в аудитории

Задача. Даны степенные ряды:

x 1 n

x 2 n

2n xn

а)

, б)

, в)

, г)

, д)

n 1 3n 2

n 1 n!

n 12n

n2 1

n 1 2n

n 1

е) 1 х n!xn , ж) x 4х2 nx n .

Найти область

х сходимости и интервал сходимости.

мости

Ответы

Область сход

: а) 0 x 2, б) x ,

в)

2 x 2 ,

бА

г) 4 x 0, д)

1 , е)

x 0, ж) x 0.

Индивидуальные задания

Исследовать сходимость следующих степенных рядов. Найти их

области сходимости.

6.01

;

6.02

;

6.03

;

n 12n 2

n 1 n 1 2n

n 1 n2 1n

6.04

;

6.05

;

6.06

;

n 1n

2 5

n 1n2 5

n 1

n2 8

x2n

xn n2 1n

6.07

;

6.08

n ;

6.09

;

1 3

n 1

n 1 n

Д3n 2

n 1

2n 1

6.10

;

6.11

;

6.12

;

n 14n

n 1

n 15n

n 1

n 1 n3n

n 1 x 2 n ;

6.14

И6.15 2 ;

6.13

;

n 1

6.16

;

6.17

;

6.18

;

n 1n

2 9

n 1n 5n

n 1

x 2 n

6.19

;

6.20

;

6.21

;

n 1n!

n 12n

n2 1

n 1

6.22

n 1

;

6.23

;

6.24

xn ;

n 1

n 1 2n

n 1 xn

6.25

n 1 2n

§7. Равномерная сходимость степенного ряда

нтервале его сходимости

Теорема. Степенной ряд сходится равномерно в любом замкну-

Стом круге, содержащемся в его круге сходимости.

Доказательство. Пусть

бА

(2.19)

a x a

– степенной ряд R – его радиус сходимости. Возьмем произвольный

замкнутый

нтервал,

лежащий внутри интервала сходимости.

Оче-

видно, можно сч тать, что центр меньшего интервала также находится в точке 0. (Точнее говоря, всякий меньший интервал можно охватить интервалом с центром в точке 0 и целиком содержащимся в интервале сходимости; равномерная сходимость ряда в охватывающем интервале влечет равномерную сходимость и в меньшем интервале.) Пусть Rx – его радиус. Возьмем точку х0, лежащую в кольце между нашими двумя интервалами. Так как эта точка расположена внутри круга сходимости степенного ряда (2.19), ряд

a0 a1x a2x2 anxn

сходитсяабсолютно.Ноприлюбомх1 изменьшегоинтервала |

х1|<|х0|.

Поэтому

a x

Следовательно, по признаку Вейерштрасса (см. § 3 гл. 2) ряд

a x a

x2 a

сходится в меньшем круге равномерно.

Теорема 1 (о непрерывности суммы ряда). В любой замкнутой области, лежащей внутри круга сходимости ряда, сумма ряда является непрерывной функцией.

f x S x .

Доказательство. Каждая частичная сумма степенного ряда, очевидно, есть непрерывная функция. Поскольку по предыдущему в

любой замкнутой области внутри круга сходимости ряда сходимость является равномерной, сумма ряда, являющаяся пределом равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций, на основании теоремы 1 в § 4 гл. 2 сама является непрерывной функцией.

СТеорема 2 (о почленном интегрировании степенного ряда). Если пределы нтегр рован я лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то последовательность интегралов от частичных сумм ряда

Доказанные теоремы открывают возможности почленного ин-

тегрирован я д фференцирования степенных рядов.

к нтегралу от суммы ряда.

Доказательство. Достаточно вспомнить, что внутри своего интервала сход мости ряд сходится равномерно, после чего сослаться на общую теорему 2 § 4 гл. 2.

Теорема о почленном дифференцировании общих функцио-
сходится	, чем теорема об их почленном
нальных рядов выглядела олее
интегр рован : в теореме о дифференцировании требовалась допол-
нительно сходимость ряда, составленного из производных членов.

получаемый в результате почленного дифференцирования ряда (2.20), также имеет радиус сходимости R.

Для случая степенных рядов это условие внутри интервала сходимо-

слабой

сти выполняется автоматически, о чем свидетельствует следующая

теорема.

Теорема 3(о почленном дифференцировании степенного ряда).

Пусть степенной ряд

f x a

a x a

(2.20)

имеет радиус сходимости R. Тогда ряд

S x a

x 3a

x2 na

xn 1 ,

(2.21)

Производная суммы ряда (2.20) равна сумме ряда (2.21): d

Доказательство. Заметим, прежде всего, что вторая часть теоремы следует из первой ее части. Действительно, раз ряд (2.21) имеет радиус сходимости R, согласно теореме о равномерной сходимости, он сходится равномерно в любой замкнутой области интервала схо-

димости ряда (2.20). Следовательно, мы можем сослаться на общую теорему 3 о почленном дифференцировании функциональных рядов.

Нам остается найти радиус сходимости ряда (2.21).

Пусть

R. Возьмем произвольно r R. Так как точ-

ка х0 принадлежит интервалу сходимости ряда (2.20), числовой ряд

a x

x 2

сходится,

потому

lim

anx0n

n 1

при

СЭто знач т, что

лю ом ε >0 для достаточно больших п

anx0n

Далее, мы

меем

nanx0n 1

nanrn 1

x0n 1

anrn

x0n 1

rn 1

Следовательно, члены ряда

x 3a

x2 na

xn 1

(2.22)

начиная с некоторого места,

становятся меньше соответствующих

членов ряда

n 1

(2.23)

Применяя к последнему ряду признак сходимости Даламбера,

мы получаем

un 1

n 1

lim

n 1

lim

n 1

n un

n n

n n r

Следовательно, ряд (2.23) сходится. Поэтому сходится и ряд (2.22). Значит, по теореме Абеля степенной ряд (2.22) сходится в круге радиуса r равномерно.

Но число r может быть выбрано сколь угодно близким к числу R. Это и означает, что радиус сходимости ряда (2.22) равен R.

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
_РГР № 3