Материал: 2018

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Хотя при почленном дифференцировании степенного ряда радиус его сходимости и не уменьшается, но в пределах области сходимости получившийся ряд сходится медленнее, чем исходный.

Пример 1. Рассмотрим ряд

1 x2 x4

x8 1 n x2n

(2.24)

1 x2

областью сходимости которого является промежуток 1;1 . Интегри-

руя ряд (2.24) на отрезке 0;x ,

x 1;1 , получаем

или

dx x2

dx x4 dx 1 n x2n dx [12],

01 x

образом

arctgx

x x3

1 n x2n 1

(2.25)

2n 1

Так м

получим разложение функции в степенной ряд в

промежутке 1;1 . Отсюда, например, при x 2 получаем

arctg2 2

1 n 2

2n 1

Пример 2. Дифференцируя почленно равенство (2.24), получим

2x 4x3

6x5 1 n 2nx2n 1

1 x2 2

или

1 2x 4x3

6x5

1 n 1nx

2n 2

1 x2 2

Задачи для решения в аудитории

Задача 1. Исходя из соотношения xndx

, найти сумму

ряда:

n 1

а) 1

1 n 1

; б) 1

1 n 1

3n 2

4n 3

Задача 2. Найти сумму ряда

4n 3

Найти5 9

х3

x4n 1

4n 1

Задача 3.

сумму ряда

бА

х5

х9

x4n 3

Задача 4. Найти сумму ряда

х2

х3

х4

n 1

xn 1

1 2

2 3

3 4

n n 1 .

Задача 5. Функция определяется равенством

f x 1 2 3х

n3n 1xn 1 .

Показать, что функция f x непрерывна в интервале

. Вы-

0,125

числить

f x .

Ответы

1 х

1. а)

ln2

, б)

ln1

; 2.

arctgx;

2 2

1 х 2

1 х

arctgx ; 4.

1 х ln 1 х x; 5. 0,2.

1 х

§8. Разложение функции в степенные ряды. Ряд Тейлора

умма всякого сходящегося степенного ряда является некоторой функцией, определенной внутри круга сходимости этого ряда (а

также, быть может, еще и в некоторых точках его границы).

СВо-вторых, можно по заданной функции искать сходящийся ряд того или ного т па, сумма которого в области сходимости равнялась бы заданной функц . Эта задача называется разложением функции в

В связи с этим возникают две задачи.

Во-первых, можно по заданному ряду искать ту функцию, кото-

рой равна его сумма в области сходимости ряда. Эта задача называется сумм рован ем сходящегося ряда.

ряд.

ейчас мы займемся вопросами разложения функций в степен-

ные ряды. В дальнейшем

удут рассматриваться также разложения

функц й в

ряды. Наряду со степенными рядами

гонометрические

относительно переменной х, т. е. рядами вида

удобно

(2.26)

a x a

x2 a

нам будет

рассматривать также ряды, степенные относительно

переменной x х0 , ряды вида

a x х

x х

n . (2.27)

Ясно, что подстановкой у x х0

второй из этих рядов превра-

щается в первый. Поэтому если круг сходимости первого ряда состо-

ит из всех точек, для которых

R, то по тем же самым причинам

круг сходимости второго ряда состоит из всех тех точек у, для кото-

рых

R т. е.

х x0

R. Иными словами, на прямой, на которой

изображается независимая переменная х, интервал сходимости ряда (2.27) имеет тот же радиус R, что и круг сходимости ряда (2.26), а центр его расположен в точке х0.

Таким образом, интервал сходимости ряда (2.27) получается путем сдвига интервала сходимости ряда (2.26) на х0 вправо (очевидно, если х0 <0, то фактически происходит сдвиг влево).

1. Коэффициенты Тейлора. Ряд Тейлора

Предположим, что функция раскладывается в степенной ряд в интервале х x0 R:

f x a

a x x

x x

2 a

x x

n .

(2.28)

Найдем коэффициенты ряда (2.28), выразив их через значения

функции f x и ее производных в точке

x0. Для этого, полагая в

(2.28) x x0, получим

f x0

a0.

(2.29)

По теореме о д фференцируемости степенных рядов из (2.28)

наход м

n 1

3a3 x x0

nan (x x0)

(2.30)

f x a1 2a2 x x0

Полагая в (2.30) x x0, получим

a1.

(2.31)

бА

Д фференц руя о е части (2.30), находим

x 2 1a2 3 2a3 x x0 4 3a4 x x0

n n 1 an x x0 n 2

(2.32)

Полагая в (2.32) x x0, получим

f x0

2 1a2.

(2.33)

Продолжая

дифференцировать полученный ряд и подставляя

x x0, будем иметь

f x0 3 2 1a3,

f IV x0 4 3 2 1a4,

f n x0 n n 1 n 2 3 2 1an ,

или

f n x0 n!an , n 0, 1, 2, ,

где полагаем f 0 x0 f x0 .

Из полученных формул и определим

коэффициенты ряда (2.28):

f x

a0 f x0 ,

0И0

, a2

,an

. (2.34)

Определение 1. Числа

n x

называются коэф-

n 0

, 1, 2,

фициентами Тейлора функции f x в точке x0.

Подставим значения an

из (2.34) в (2.28), получим

f x f x0

f x0

x x0

f x0

x x0 2

f n x

x x0 n . (2.35)

Определение 2. Ряд

f x0

x x0

f x0

x x0 2

Если

f n x0

x x0 n . (2.36)

бА

называется рядом Тейлора функции f x

в точке x0.

Из пр веденных выше рассуждений следует.

Теорема 1.

функция

f x разлагается в степенной ряд

(2.28), то это разложение единственно и совпадает с разложением

функц f x в ряд Тейлора функции в точке x0

Если в (2.36) полагать

x0 0, то получим ряд Маклорена для

функции f x

f x f 0

f 0

f 0 x2

n 0

xn , (2.37)

который является частным случаем ряда Тейлора.

Из приведенных выше рассуждений следует, что если функция

f x имеет в точке x0	производные любого порядка, то для нее мож-
		И
но составить ряд Тейлора или (при x0 0) ряд Маклорена (2.35).
Определение 3. Функция		f x называется порождающей для
соответствующего ряда.
2. Многочлены Тейлора. Формула Тейлора
Определение 4.	Частичные суммы Sn x ряда Тейлора (2.35)
обозначаются через	Tn x и	называются многочленами Тейлора

функции f x в точке x0.

Тогда ряд Тейлора функции f x можно представить в виде

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
_РГР № 3