Материал: 2018

Смотрите также:

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

где rn x остаток ряда.

Таким образом, если функция f x имеет в точке x0 производ-

ные до n го порядка включительно,					то для нее можно составить
многочлен Тейлора степени n. Хотя в ряд Тейлора эта функция может
и не разлагаться. Для таких функций можно записать равенство
f x f x		f x0	x x	0	f n x0	x x	0	n

С0	1!				n!			Rn x ,

где Rn x разность между f x и Tn x , т.е.									(2.39)

и				f x Tn	x .				(2.40)
		Rn x
Определен е 5. Формула (2.39) называется формулой Тейлора,
бА

а Rn x называется остаточным членом формулы Тейлора.

Рассматриваются различные выражения для остаточного члена

Rn x формулы Тейлора. Мы остановимся, без доказательства, на од-

ном из них, известным под названием “остаточный член формулы

Тейлора в форме Лагранжа”. Если функция

f x

имеет в некоторой

окрестности точки x0 все производные до n 1 го порядка вклю-

чительно,то для любого из x этой окрестности имеет место

n 1 t

n 1

n 1 !

где t некоторая промежуточная точка между x0

и x. Тогда с учетом

(4.62) формула Тейлора (4.60) примет вид

f x f x0

f x0

x x0

f x0

x x0 2

f n x

f n 1 t

n 1

x x0

. (2.42)

n 1 !

Если x0 0, то получим частный случай формулы Тейлора,

формулу Маклорена:

f x f 0 f 0 x f 0 x2 f n 0 xn

f n 1 0

n 1

. (2.43)

n 1 !

Пример

Написать

формулу

Маклорена

для

функции

f x x2ex с остаточным членом в форме Лагранжа для n 4.

Решен е. При n 4 из (2.42) имеем

f x f 0

f 0

Наход м про зводные до порядка 4 1 5 включительно:

2xe

2x x e ;

f x e x

иf x e x 2xe 2x x e ;

2 2x e

2x x e

2 4x x e ;

2 4x x e

6 6x x e ;

x 4 2x e

f 4 x 6 2x ex 6 6x x2 ex 12 8x x2 ex ;

f 5 x 8 2x ex 12 8x x2 ex 20 10x x2 ex .

Для нашего случая:

2 0 0

f 0 0 e

0, f

бА

0 2 4 0 0

0 6 6 0 0

f 4 0 12 8 0 02 e0 12,

t 20 10 t t

e .

20 10t t2 et

6x3

12x4

Следовательно,

или x2ex x2 x3

20 10t t2 et

x5, где

, t и x одного

знака.

3. Сходимость ряда Тейлора к порождающей функции

Если рассмотреть функцию, которая имеет в точке x0 производные любого порядка, тогда для нее можно составить ряд Тейлора (2.36). Нас интересует вопрос: всегда ли составленный ряд Тейлора (2.36) сходится к порождающей его функции? Существуют функции, ряды Тейлора которых сходятся, но не к порождающей их функции или являются даже расходящимися. Ниже приведем теоремы, которые позволяют получ ть положительный ответ на этот вопрос.

Теорема 2. Ряд Тейлора (2.36) сходится к порождающей функ-
ции f x в некоторой окрестности точки x0 тогда и только тогда, ко-
С			x в формуле Тейлора в каждой точке окре-
гда остаточный член Rn			x в формуле Тейлора в каждой точке окре-
стрем тся к нулю.
Доказательство. Пусть ряд (2.36) сходится к функции f x в
некоторой окрестности			x ,т.е. f x lim S				x ,		где S		x n я час-
стности0				n		n				n
тичная сумма ряда (2.36), которая совпадает с многочленом Тейлора
n й степени Tn x для функции f x , т.е. Sn x Tn x .
Тогда		x lim f x T x lim f x S							x
lim R	n	x lim f x T x lim f x S						n	x
n	n	n	n	n				n
f x lim Sn x f x f x 0.
		n
Докажем обратное, пусть lim Rn x 0, тогда
				n
lim S	бА
n	n	n n	n		n
f x lim Rn x f x 0 f x ,
		n		Д
что и требовалось доказать.

Замечание. Если ряд Тейлора (2.36) сходится к порождающей

функции, то Rn x rn x , т.е. остаточныйИчлен формулы Тейлора равен остатку ряда Тейлора.

На основании теоремы 2 сформулируем теорему, которая дает простое достаточное условие сходимости ряда Тейлора к порождающей функции и может быть применима при разложении функции.

Теорема 3. Если все производные функции f x ограничены в некоторой окрестности точки x0 одним и тем же числом, то для любого x из этой окрестности ряд Тейлора функции f x сходится к ней, т.е. имеет место разложение.

f x f x0

f x0

x x0

f x0

x x0 2

f n x

x x0

. (2.44)

4. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора

Огран ч мся частным случаем x0 0,

т.е. рядами Маклорена,

функция

которые чаще спользуются на практике.

а) Разложен е функции f x ex

x e

Замет м, что f

, f

. Тогда

x e

f 0 f 0 f

0 e

Следовательно,

сопоставляется в ряд

Для доказательства сходимости данного ряда к порождающей функции ex нужно показать, что ex вместе со всеми своими производными ограничена в некоторой окрестности точки x0 0.

Для данного x найдем интервал h;h , содержащий число x, и

обозначим бe M . ТогдаАдля любой производной функции имеем

f n x

ex eh M .

Отсюда по теореме 3 сумма ряда сходится, т.е. равна порож-

дающей его функции на всей числовой прямой:

Д3 n

ex 1

(2.45)

б) Разложение функции f x sin x

Найдем производные данной функции:

x sinx,

f x cosx,

f x sinx,

x cosx,

f 5 x cosx, f

6 x sin x,

f 7 x cosx, .

Вычислим

значение функции

и ее производных

для x0 0;

f 0 sin0 0,

f 0 cos0 1,

f 0 sin0 0,

0 sin0 0,

0 cos0 1,

f 0 cos0 1,

f 6 0 sin0 0, .

Таким образом получаем, если n четное, т.е. n 2k ,

где k 0,1,2..., то

f n 0 sin0 0.

Если n нечетное, то рассмотрим случаи:

n 4k 1,

n 4k 3,

k 0,1,2,... .

Для первого случая имеем

f n 0 f 4k 1 0 cos0 1.

Для второго случая

f n 0 f

4k 3 0 cos0 1.

бА

Уч тывая далее,

что производные функции sinx ограничены на

всейимч словой прямой, по теоремееем

3 получаем

sin x 0

Отбросив члены с нулевыми коэффициентами, получим

sinx x

1 n

x2n 1

(2.46)

2n 1!

Нетрудно показать, что согласно теореме 3

sinx

равен сумме

этого ряда на всей числовой оси, т.к. все производные функции sinx

ограничены.

f x cosx

в) Разложение функции

Повторяя рассуждения и выкладкиД, аналогичные случаю функ-

ции sinx, получаем

cosx 1

1 n

x2n

(2.47)

2n !

Учитывая далее, что производные функции cosx ограничены на всей числовой прямой, по теореме 3 получаем сходимость ряда (2.47) к порождающей его функции f x .

г) Разложение функции f x ln 1 x

Для разложения функции f x ln 1 x в ряд Маклорена воспользуемся формулой для суммы геометрической прогрессии

rn x Tn x rn x , (2.38)


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
_РГР № 3