Материал: 2018

1

1 x x2 x3 1 n xn ,

(2.48)

x

1

x

x

x

x

dx xdx x2 dx 1 n

xn dx

1 x

0

0

0

0

0

x

x

x

2

x

x3

x

n xn 1

ln 1 x |

x|

|

| 1

,

2

С0

0

0

3 0

n 1

откуда

ln 1 x x

x2

x3

1

n xn 1

.

(2.49)

и2

3

n 1

Если x 3, то получим числовой ряд

ln2 1

1

1

1

1 n ,

2

3

4

n 1

который является сходящимся, как гармонический. Таким образом,

разложение (2.49) верно в промежутке 1;1 .

д) Разложение функции f x arctgx

бА2

Заменяя в (2.48) x на

x

, получим разложение

1

1 x2

x4

x6

1 n x2n ,

(2.50)

1 x2

в промежутке 1;1 . Интегрируя ряд (2.50) на отрезке 0;x ,

x 1;1 ,

Д

получаем разложение в ряд функции

arctgx x

x3

x5

1 n 1

x2n 1

,

(2.51)

2n 1

3

5

полученный ряд сходится при x 1;1 . ДействительноИ, подставим в

(2.51) x 1 и, учитывая, что arctg1

, получаем разложение

4

1

1

1

1

1 n 1

,

4

3

5

7

2n 1

x

dx

arctgx.

формулой

2

01 x

С

x 1 x α ,

е)

Разложение функции f

где произвольное действительное число. Нетрудно показать, что

функц я 1 x

в нтервале сходимости 1;1 представима рядом

1 x

1

x

1

x2

1 2

x3

1!

2!

3!

1 2 n 1

n

x

.

(2.52)

обо

n!

Более того, можно показать,

что при 0

разложение (2.52)

верноив х концах интервала 1;1 , т.е. имеет место на отрезке

1;1 , а при 1 0 в правом конце, т.е. на полуинтервале 1;1 .

Определен е 6. Ряд (2.52) называется биноминальным рядом.

§9. Примеры практического применения

степенных рядов

Д

1. ВычислениеАзначений функций

Пример 1. Вычислить число e, т.е. значение функции ex при

x 1, с точностью до 0,001 (если известно, что e 3).

Решение. Имеем

xn

ex 1

x

x2

.

n!

Тогда

1!

2!

2

n

x

x

ex 1

x

И,

1!

2!

n!

причем абсолютная погрешность этого приближения равна

h

r x

et

x

n 1, где

t

x

. При x 1 получаем

n 1 !

n

e 1

1

1

1

.

1!

2!

n!

et

et

При этом h

1n 1

n 1 !, где

0 t 1,

n 1 !

но так как et e1 3, то h

3

.

n 1 !

3

Ч

сло n определ м из равенства

0,001.

n 1 !

Если

Откуда

3

10 3

, т.е.

n 1 ! 3 103

3000.

Сn 1 !

взять n 5, то 5 1 ! 1 2 3 4 5 6 720 3000.

бА

Возьмем n

6,

6 1 ! 1 2 3 4 5 6 7 5040 3000.

Следовательно,

e 1 1 1 1 1

1

1

2

1

1

1

2!

3!

4!

5!

6!

2

2 3

2 3 4

1

1

2

1

1

1

1

1

2 3 4 5

6

2 3 4 5 6

2

24

120

720

2.718.

Пример 2. Вычислить cos18 с четырьмя верными знаками.

Д

Решение. По формуле (2.47) §7 имеем

cosx

x2

x4

x6

1 n x2n

1

2!

4!

6!

2n ! .

И

Так как угол 18 в радианах (с точностью до 10

5) равен

18

0,31416, то

180

cos18 1

0,31416 2

0,31416 4

0,31416 6

.

2

2 3 4

2 3 4 5 6

0,31416 6

0,31416 6

0,0001,

значит,

достаточно ограни-

2 3 4 5 6

720

читься тремя слагаемыми

cos18 1

0,31416 2

0,31416 4

0,901709.

2

2 3 4

2. Интегр рован е функций

Пр мер 3. При

зучении теории вероятности важную роль иг-

рает функц я

С

F x

1

x

x2

e 2 dx,

2

0

называемая функц ей Лапласа, или интегралом вероятностей.

Вычисл ть

нтеграл непосредственным интегрированием нельзя, так

x

x2

как e

2 dx не выражается через элементарные функции.

0

x2

Заменяя в разложении (2.45) x на

, получаем

x2

2

x

2

x

4

x

6

n 1

x

2n

e 2 1

1

.

4

6

2n

бА2

2

2!

2

3!

2

n!

Это разложение,

как и разложение для ex, имеет место на всей

числовой оси, поэтому его можно почленно интегрировать, т.е.

x

x2

x

x2

x4

x6

1 n 1 x2n

e

2

dx

1

4

Дdx

0

0

2

2

2!

2

3!

2

n!

x

1 x

2

1

x

4

1

x

6

dx

x

dx

x

dx

x

dx

26