Материал: 2018

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Так как h	r			1		0,0001, то достаточно взять
				1

	n		2520
			2520
11 cos2x2					dx		1	1	1	0,1657.

		x					2	12
0		x					2	12	135
С

4. Интегрирование дифференциальных уравнений

Рассмотр м теперь применение рядов Тейлора к решению дифференц альных уравнений. Пусть заданы дифференциальное уравне-

чальные услов я, можно разложить в степенной ряд,

циентаминие и начальные услов я, определяющие частное решение. Допустим, что решен е уравнен я в окрестности точки, в которой заданы на-

y a0 a1 x x0 a2 x x0 2 an x x0 n .

Прод фференц руем этот ряд с неопределенными пока коэффи-

столько раз, каков порядок уравнения.

Подставляя затем в уравнение вместо неизвестной функции и ее производных соответствующие ряды, мы получим тождество, из которого и определим неизвестные коэффициенты ряда. При этом первые коэффициенты ряда определяются из начальных условий. Если, далее, доказать, что полученный ряд сходится, то можно быть уве-

ренным, что он выражает искомое решение.

Достаточно большое число членов ряда дает нам как угодно хо-

рошее приближенноебАвыражение решения в виде многочлена.

Рассмотрим указанный метод на примерах.

Пример 5. Найти

решение

дифференциального

уравнения

xy 0, удовлетворяющее начальным условиям y 0 0, y 0 1.

Решение. Ищем решение в виде ряда

y a

a x a

xn .

Дифференцируем полученный ряд дважды, получаем

y a1 2a2x 3a3x2 nanxn 1

y 2a2 3 2a3x 4 3a4x

Иn 2

n n 1 an x x0

Подставляем в дифференциальное уравнение вместо y и y их разложения, получаем тождество

2a2 3 2a3x 4 3a4x2 n n 1 an x x0 n 2

		a		0	a x a							2	x2 a									n	xn		.
				0	1							2										n
		Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенных x, на-
ходим					2a2 0,												3 2a3						a0,							4 3a4 a1,								5 4a5		a2,			,
n n 1 an an 2, .																		a0								a1							a2						an 3
		Откуда a						0,						a				a0			, a					a1		,		a			a2	,		,a			an 3			, .
							2								3			2 3						4		3 4					5		5 4				n		n n 1
		Для определен я a0																		a1			воспользуемся начальными условиями:
для a0			: y 0 0, для a1 : y 0 1.
С																				1							0									0						1
		Тогда a3 0,														a4			3 4				,		a5		0		,			, a6						,	a7				,
		Тогда a3 0,														a4							,		a5		5 4		,			, a6						,	a7		3 4 6 7		,
																											5 4								2 3 5 6						3 4 6 7
a	8		0				, a		9								0								, a							1					.
a							, a																		, a												.
		4 5 7 8												2 3 5 6 8 9											10					3 4 6 7 9 10
и
		Нетрудно замет ть																							1
																									1
a3m 1 a3m 0, a3m 1 3 4 6 7 3m 3m 1 .
		Значит					1										1															1
		y x					1			x	4						1						x	7								1					3m 1			.
		y x								x						3 4 6 7							x																	.
						3 4										3 4 6 7												3 4 6 7 3m
					бА

С помощью признака Даламбера легко убедиться, что этот ряд является сходящимся на всей числовой прямой и, следовательно, представляет искомое решение дифференциального уравнения при

всех x.
	Заметим, что порядок уравнения нисколько не влияет на метод
решения его при помощи рядов.				И
				метод решения позволяет
решить и нелинейные дифференциальныеДанныйуравнения, которые не ре-
шаются в квадратурах, т.е. непосредственным интегрированием урав-
нения.
	Пример 6. Найти решение			дифференциального уравнения
y	xy	2	1, удовлетворяющее начальному условию y 1 0.

Решение. Это уравнение нелинейное, и поэтому подстановка вместо y его разложения в ряд

y a0 a1 x 1 a2 x 1 2 an x 1 n

привела бы к сложным уравнениям для определения коэффициентов. Поэтому обычно поступают иначе.

Продифференцируем уравнение несколько раз подряд, рассматривая y как функцию от x:

y y2

2xyy ,

y 2yy 2yy

2x y 2

2xyy

4yy

2x y 2

2xyy

4 y

4yy

2 y

2yy

2xyy

4xy y

2xy y

6yy

2xyy

6 y

6xy y

Подставляя во все уравнения и во все производные x 1 и учи-

0, последовательно найдем:

тывая начальное услов

y 1

1 y

Сy 1 1y 1 1 1,

1 2 1 y 1 y 1 0 2 0 1 0,

y 1 4y 1 y 1 2 1 y 1

2 1 y 1 y 1

бА

4 0 1 2 1 1 2 1 0 0 2,

6 y 1 y

1 6 y

1 2 1 y 1 y 1

6 1 6 0 0 2 1 0 2 6, .

Следовательно, скомое решение записывается в виде ряда Тейлора в точке x0 1:

y x 1 x 1 3	x 1 4	.
3	4	точки x 1 дает как
Полученный многочлен в окрестности
Д

угодно хорошее приближенное выражение решения.

Задачи для решения в аудитории

Задача 1. Разложить ln х по степеням х 1 .

5Задача 4. Разлагая подынтегральную функциюИв ряд, вычислить

Задача 2. Пользуясь соответствующим рядом, вычислить cos10

с точностью до 0,0001.

Задача 3. Пользуясь соответствующим рядом, вычислить

arctg1с точностью до 0,0001.


	1 ln 1 x
интеграл	0		dx. Указание. При решении этого примера полезно
интеграл	0	x	dx. Указание. При решении этого примера полезно
			1	2
иметь в виду равенство:					.
иметь в виду равенство:				6	.
			n 1n2	6

	Задача				5.					Найти									решение дифференциального																														уравнения
y xy y 0,														удовлетворяющее																						начальному														условию
y 0 0, y 0 1.
С																					Ответы
С
1.	ln х x 1						x 1 2											x 1 3				1 n													x 1 n 1					. 2.									0,9848.
1.	ln х x 1									2							3					1 n																		. 2.									0,9848.
					2					2							3																			n 1						x2n 1
					2											x	3				x5					x7										n 1						x2n 1
и																												1
3.	0,1973. 4.				. 5.								x															1																						.
			12													3 1 3 5 7!																								2n 1 !!
															Индивидуальные задания
		бА
	Выч сл ть определенный интеграл с помощью разложения по-
дынтегральной функц																			в степенной ряд.																	Обеспечить абсолютную
погрешностьh 0,001:
		0,1	e 5x				2													0,1sin10x2																	121 cosx2
	7.01		e 5x						dx;								7.02												dx;							7.03								x4						dx;
		0																			0			x			x										0							x4
																											x
		0,2		e	5x2					1										0,9 ln 1																	12							3
		0,2			5x2															0,9 ln 1																	12							3
	7.04													dx; 7.05													5			dx;						7.06			e x					dx;
	7.04							x						dx; 7.05											x					dx;						7.06			e x					dx;
		0						x													0				x												0
		0,4																			1																	0,1			e		2x				1
	7.07	0,4	sin3x2 dx;														7.08				2	cos5x3 dx;														7.09		0,1					2x							dx;

																																													x
		0									x										0																		0						x
											x
				ln 1																		x		2													1								2
				ln 1																		x		2													1								2
		0,6								6											3	Д90 2 x
	7.10														dx; 7.11						e			dx			;									7.12		sin										dx;
		0							x												0																	0				x2			2
		0,1								2											0,3		3x2														1	2 e				x2				1
										2													3x2															2 e								1
	7.13		cos5x									dx;					7.14					e				dx;										7.15													dx;
	7.13		cos5x									dx;					7.14					e				dx;										7.15						10x							dx;
		0				x2															0																0					10x
		1				x2																										2																4
		2																			0,4	1 cos7x														И0,2
	7.16	e				5 dx;											7.17					1 cos7x											dx; 7.18									sin				x			dx;
	7.16	e				5 dx;											7.17									x2							dx; 7.18									sin							dx;
		0																			0					x2													0								4
																												x
		1							x			2										ln 1															0,1e					5x			2		1
		1										2										ln 1																				5x			2
	7.19	2 cos											dx;				7.20				0,2							2						;		7.21														dx;
																												2			dx

																										x																		x2
		0				5															0					x											0							x2

cosx

dx;

12 e x3

12 ln

1 x2

dx;

7.22

7.23

dx; 7.24

7.25

12 e 2x2

dx.

Найти первые три числа разложения в степенной ряд решения

дифференц ального уравнения с заданными условиями.

8.01

;

y 0 1,

0 1.

1,y(0) 1.

С8.02 y x y

8.03y ey

xy,y(0)

8.11

yбА2e xy,y 0 0.

8.04

2xy

,y(1)

8.05

,y 2 2.

8.06

y cos x y2,y 0 1.

8.07

y ex

y2,y 0 0.

8.08

;

y 0 1,

y 0 1.

8.09

;

y 0 1,

0 1.

8.10

y y y2,y 0 3.

8.12

y sin x y2 ,y 0 1.

8.13

y ex

y,y 0 4.

8.14

y x2

y2,y 0 2.

8.15

y sinx 0,5y

,y 0 1.

8.16

y 2ey

xy,y 0 0.

8.17

y x x2

y 0 5.

8.18

;

y 1 0,

1 1.

8.19

y 0 0,

0 1.

8.20y e2x

y,y 1 1.

8.21

sin x cos y 0; y 0

y 0 1.

8.22

y 1 0,

y 0 1.

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
_РГР № 3