Материал: 2018

Смотрите также:

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Тогда

xsinnx

xcosnxdx

sinnxdx

sin n

0 sin0n

sinnxdnx

cosnx

cos n

cos0

1 n 1

sinnx

cosnxdx

cosnxdnx

sin n sin n

2sin n

иОкончательно меем

1 n 1

1 n 1 1

cosnxdx

xcosnxdx 0

По формуле (2.57) имеем

f x sinnxdx

sinnxdx

бА1

x sinnxdx

sinnxdx

xsinnxdx

cosnx

xsinnxdx.

При вычислении интеграла

xsinnxdx воспользуемся форму-

откуда du dx,

лой (2.58).

Приняв

u x,

dv sinnxdx,

v sinnxdx

sinnxdnx

cosnx

Тогда

xcosnx

xsinnxdx

cosnxdx

cos n

0 cos0

cosnxdnx

1 n

sinnx|

1 n 1

sin n sin0

1 n 1

С2

Окончательно имеем

cosnx

cos n cos n

xsinnxdx

функции

1 n 2

1 n 1

cos n cos n

x соответствует ряд Фурье

ледовательно,

бА

f x

1 n

cosnx

sinnx .

n 1

3. Разложение в ряд Фурье функций, заданных

на отрезке ;

Пусть функция

f x определена на отрезке

; . Тогда подста-

новкой x

переходим к функции f

, которая определена на от-

f x

резке ; . Если

кусочно-дифференцируема на отрезке ; ,

тогда

будет

кусочно-дифференцируемой

на

отрезке

; .

Разлагая в ряд Фурье на отрезке ; функцию

получим

(всюду за исключением, быть может, точек разрыва функции и кон-

цов отрезка ; )

cosnt b sinnt , где

n 1

cosnt dt,

n 0, 1, 2,

Переходя к переменной x,

имеем t

и при этом

t соответствует x , t

соответствует x .

Окончательно,

f x

cos

b sin

x ,

(2.59)

n 1

где

f x cos

x dx,

n 0, 1, 2, ,

(2.60)

f x sin

x dx,

n 0, 1, 2, .

(2.61)

ТакимбАобразом, функцию f x , определенную на отрезке ; , можно разложить в ряд Фурье (2.59), коэффициенты которого вычисляются по формулам (2.60), (2.61). Равенство (2.77) может нарушить-

ся лишь в точках разрыва функции и на концах отрезка ; . Пример 2. Разложить функцию f x x на интервале 1;1 в

ряд Фурье.

Решение. По формуле (2.59) (при 2) имеем

f x x a0

aДcos nx b sin nx .

n 1

Вычислим коэффициенты ряда an

по формуле (2.60) и восполь-

зовавшись формулой интегрирования по частям (2.58), где U x,

dV cos nx dx, откуда dU dx, V

sin nx, получим

1 1

sin nx 1

1 sin nx

xcos nx dx x

sin n sin n

sin nx d nx

cos nx 1

cos n cos n

2 n2

Вычислим коэффициенты ряда bn

по формуле (2.61) и восполь-

зовавшись формулой интегрирования по частям (2.58),

где U x,

dV sin nx dx, откуда dU dx, V

cos nx, получим

cos nx 1

cos nx

С1

xsin nx dx x

1 1

cos n cos n

sinπnx|-1

cos n cos n

sinπn sin πn

πn

2cos n

sin n sin n

2 1 n 1

Таким образом,

бА

f x x

sin2 x

1 sin nx

sin x

для 1 x 1.

4. Разложение в ряд Фурье периодических функций

Если данная функция f x является периодической с периодом

T 2 , f x 2 k f x

и для нее имеет место разложение в ряд

Фурье на отрезке ; , то оно справедливоИи на всей прямой

; .

Действительно, сумма тригонометрического ряда Фурье

если она существует, является периодической функцией с периодом 2 , так как cosnx и sinnx периодические функции.

Аналогично, если функция имеет период, то разложение (2.59) имеет место для всей прямой.

Пример 3. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию
С
f x , определенную следующим образом на периоде (рис. 2.6):
			0, x 0, 2 x ,
	f x		1, 0 x 2,


и
			1 2,x 0, x 2.
бА2 n 1
				Рис. 2.6
Решение.	Данная			функция			кусочно-дифференцируема
(см.рис.2.6),следовательно,				Д0
0		a0		Д0
	f x			a	n	cos nx b	sinnx .
					n		n

Изобразим график функции с ее периодическим продолжением. Применивформулы (2.56)и(2.57),найдёмкоэффициентыФурье.

f x dx

|2 2 ,

f x cosnx dx

sinnx|2

1 cosnx dx

sin2n

sin0

sin2n

100

sinnt dt, n 0, 1, 2, .


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
_РГР № 3