Материал: 2018

С

§10. Разложение функций в тригонометрические

ряды Фурье

зываются

свойства которых считаются известными.

Пусть дана с стема

азовых функций

базовыми

1 x , 2 x ,

, n x , .

Представить

данную функцию f x при помощи заданных

функций означает разложить f x в функциональный ряд

f x c1 1 x c2 2 x cn n x ,

где коэффициенты

ci действительные числа. Получив такое пред-

ставление, бАможно аппроксимировать данную функцию при помощи

частных сумм соответствующего функционального ряда. Выбор базо-

вых функций определяется, прежде всего, задачей, которую необхо-

димо решить и свойствами данной функции f x . Как мы видели в

предыдущем параграфе, представление функции степенным рядом

Д

позволяет вычислить числовые значения функции, значения интегра-

лов, находить решение дифференциальных уравнений.

В случае степенных рядов в качестве базовых служат функции

1, x, x2,

, xn, .

И

щийся по сложному закону I

I t , через простые синусоидальные

токи I sin t

. Математическим аппаратом для исследования та-

Сk 0

задач служат ряды, для которых базовыми являются функции

1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,

, cosnx, sinnx, .

Определен е 1. Тригонометрическим рядом называется ряд

ких

a0

a cosx b sinx a

cos2x b

sin2x a

n

cosnx

2

1

1

2

2

bn sinnx .

(2.54)

Числа

a0

, a , b ,

, a

,

b ,

называются коэффициентами

2

1 1

n

n

тригонометрического ряда (2.54).

представляется на отрезке ;

Допустим, что функция

f x

бА

тригонометрическим рядом

an cosnx bn sinnx ,

(2.55)

f x a0

2

n 1

и предположим, что этот ряд является сходящимся для любого

x от-

резка ; , следовательно,

Д

его можно почленно интегрировать. Не

будем приводить вывод коэффициентов an

и bn, а лишь отметим, что

с помощью приемов интегрирования получаем

1

И(2.56)

an

f x cosnxdx,

где n 0, 1, 2, 3,

,

b

1

f x sinnxdx,

(2.57)

n

a0

a

n

cosnx b

sinnx ,

2

n 1

n

коэффициенты которого совпадают с коэффициентами Фурье для

функц

f x , т.е. выч сляются по формулам (2.56) и (2.57), называ-

ются рядом Фурье функции f x .

Как

в случае ряда Тейлора, ряд Фурье не всегда сходится к по-

Срождающей функц . Для формирования условий сходимости ряда

Фурье к порождающей функции введем

дополн тельные понят я.

f x

Определен е 4.

на-

зывается кусочно-непрерывной на отрез-

Функция

ке a;b ,

если она меет лишь конечное

число точек разрыва первого рода (рис.

2.2), на котором жирными точками обо-

значено значение функции в точках раз-

рыва).

Рис. 2.2

Определение 5. Функция f x

на-

зывается кусочно-дифференцируемой на отрезке a;b , если ее про-

изводная являетсябАкусочно-непрерывной функцией на отрезке a;b

(рис. 2.3).

Сформируем

без

доказательства

следующие теоремы

ирихле,

которые

Д

представляют достаточные условия по-

точечной

сходимости

к

порождающей

функции, за исключением, быть может,

точек разрыва и границ отрезка.

f x

ку-

Теорема 1. Если функция

И

сочно-дифференцируема

на

отрезке

Рис. 2.3

; ,

то

ряд Фурье

функции

f x

сходится

во

всех

точках x ; ,

причем в точках непрерывности функции

f x его сумма равна

f x ,

в точках разрыва функции

f x

его сумма равна

f x 0 f x 0

,

2

на концах отрезка его сумма равна

f 0 f 0

.

2

Функция f x на-

Определение 6.

зывается кусочно – монотонной на от-

резке a;b , если его можно разбить на ко-

нечное число интервалов так, что на каж-

дом из интервалов функция монотонна

причем

С

(рис. 2.4).

Теорема 2. Если функция f x ку-

сочно-монотонна и ограничена на отрез-

ке ; ,

то ряд Фурье для этой функ-

Р с. 2.4

ции сходится во всех точках x ; ,

в точках непрерывности его сумма равна

f x , в точках раз-

рыва функц

f x его сумма равна

f x 0 f x 0

, а на концах

2

отрезка его сумма равна

f 0 f 0 .

2

Теорема 3. Если два равномерно сходящихся тригонометриче-

ских ряда тождественно равны

a

a

0

0

an cosбnx bn sinnx

Аan cosnx bn sinnx ,

2

n 1

2

n 1

то эти ряды равны и формально:

И

a0 a0 ;

an an , где n 0, 1, 2, 3,

;

Д

b

b , где n 0, 1, 2, 3, .

n

n

,

x 0,

f x

С

f

0, x 0,

x

1, 0 x

имеет лишь одну точку разрыва x 0 внутри отрезка ; , то ряд

Фурье функц

f x сходится к порождающей его функции во всех

точках x

; . При этом значение полученного ряда в концах ин-

циенты1 1

1

тервала равно

f 0 f 0

.

a

2

2

2

бАf x cosnxdx cosnxdx

Выч сл м коэфф

Фурье. По формуле (2.56) имеем

0

a

0

f x dx

dx

x dx

0

1

x

2

2

dx 1

xdx x|

|

0

0

2

0

2

2

3

.

Д

2

2

1

1 0

n

1

x cosnxdx cosnxdx 1

xcosnxdx.

0

a

a

0

И

При вычислении интеграла

xcosnxdx воспользуемся форму-

лой интегрирования по частям

0

b

b

udv u v|ba vdu.

(2.58)

Приняв

u x,

dv cosnxdx,

откуда

du dx,

v cosnxdx

1

cosnxdnx

sinnx

.

n

n