Материал: 2018

1

1

2

1

b

f x sinnx dx

1 sinnx dx

cosnx|2

n

1

n

0

cos2n

cos0

1 cos2n

.

n

n

n

ледовательно, разложение в ряд Фурье функции f x имеет вид

1

1 cos2n

f x

sin2n

cosnx

sinnx .

n 1 n

n

Оно справедл во во всех точках непрерывности функции f x .

С

5. Разложен е в ряд Фурье четных и нечетных функций

Как

установлено, задачу разложения функции f(x) в ряд

и

было

Фурье на про звольном сегменте [a, b] можно свести к задаче разло-

жения несколько в до змененной функции на сегменте [-π, π]. По-

этому мы далее

удем ограничиваться только этим свойством.

А

Итак, пусть функция f(х) задана на сегменте [-π, π] и удовлетво-

ряет условиям Дирихле. Займемся исследованием двух частных слу-

И

равно как и нечетной на нечетную, четно, а произведение четной и

нечетной функции нечетно.

Д

х и х должно быть

f x f x , f x х f x х ,

С

откуда

f x х f x

f x f x х

,

х

х

функции

или переходя к пределу,

f

x f x .

лучай нечетной

f(x) рассматривается аналогично.

бА

а не-

Следств е. Вторая производная четной функции четна,

четной – нечетна.

x

x

x

F x f x dx C f x dx C f x dx C

0

0

0

x

Д

f x dx C F x .

0

Если функция f x четна, то при F(0) = 0

x

x

x

x

F x f x dx f x dx f x dx f x dx F x .

0

0

0

0

;

Пусть

f x нечетная

на отрезке

функция, т.е.

И

f x f x , ее ряд Фурье содержит только синусы, т.е.

f x bn sinnx dx,

(2.62)

2

b

f x sinnx dx, n 1, 2, 3, .

(2.63)

n

0

; функция, т.е.

Если

f x четная

на

отрезке

f x f x ,ее ряд Фурье содержит только свободный член и коси-

нусы, т.е.

a0

f x

an cosnx,

(2.64)

2

n 1

Если

где

Сan

2

(2.65)

f x cosnx dx, n 0, 1, 2, .

0

бА0

f x с пе-

Аналог чные формулы можно получить для функции

риодом 2 .

f x нечетная функция, ее ряд Фурье имеет вид

(2.66)

f x b

sin nx ,

n

где

n 1

2

nx

b

f x sin

dx, n 1, 2, 3, .

(2.67)

n

0

Д

Если f x четная функция, ее ряд Фурье имеет вид

f x

a

nx

,

(2.68)

где

2

n 1

2

nxdx, n 0, 1, 2, 3, .

an

f x cos

(2.69)

0

Задачи для решения в аудитории

Задача 1. Разложить ln х по степеням х 1 .

Задача 2. Пользуясь соответствующим

Ирядом, вычислить cos10

с точностью до 0,0001.

Задача

3.

Пользуясь

соответствующим рядом,

вычислить

1 ln 1 x

интеграл

0

dx. Указание. При решении этого примера полезно

x

1

2

иметь в виду равенство:

.

С

n 1n2 6

Задача

5.

Найти

решение

дифференциального

уравнения

y xy y 0,

удовлетворяющее

начальному

условию

y 0 0, y 0 1.

Ответы

1. ln х x 1

x 1 2

x 1 3

1 n

x 1 n 1

. 2. 0,9848.

бА

2

2

3

n 1

x2n 1

x3

x5

x7

n 1

3.и0,1973. 4. . 5. x

1

.

12

3 1 3 5 7!

2n 1 !!

Индивидуальные задания

Разложить данную функцию

f x

в ряд Фурье в интервале

; .

Д

9.01

f x x 1

в интервале ; .

9.02

f x x 2

в интервале 2; 2 .

И

9.03

f x x в интервале ;

.

2

9.04

f x 1

x

в интервале 1;1 .

9.05

f x

0,

x 0

0 x

в интервале ; .

x,

9.06

f x

1 x

в интервале 2; 2 .

9.07

f x

x

в интервале ; .

9.08

f x x 1

в интервале 1;1 .

9.09 f x

x 1

в интервале 2; 2 .

9.10

2,

x 0;

f x

0 x

в интервале ; .

1,

9.11

0,

3 x 0;

в интервале 3;3 .

f x

0 x 3

x,

С

9.12

f x 2x в интервале 1 x 1.

x,

x ;

9.13

f x

в интервале x .

и

x,

x

2

9.14

f x

1,

2 x 0;

в интервале 2 x 2.

0 x 2

3,

9.15

бА0, 2 x 0;

f x 2x

в интервале ;

.

9.16

f x 3x в

нтервале 2 x 2.

9.17

f x

0,

4 x 0;

в интервале 4; 4 .

0 x 4

x,

9.18

x,

1 x 0;

в интервале 1;1 .

f x

2 x,

0 x 1

Д

9.19

f x

в интервале 2; 2 .

x

,

0 x 2

2

9.20

f x 10 x в интервале 5;5 .

9.21

f x

x ,

x 0;

в интервале ; .

x,

0 x

И

x

9.22

f x

в интервале ; .

2

9.23

f x 4 x

в интервале 4; 4 .

9.24

f x

x

в интервале ; .

3

9.25

f x x 3

в интервале 3;3 .