Материал: 2018

С

x 0, так как и в этом случае его общий член не

дится для любого

стремится к нулю.

Если рассмотреть ряды, для которых существует limn

an

,

n

Пусть существует конечный или

есконечный предел

lim n

.

(2.14)

an

Тогда:

а) если 0

, то степенной ряд (2.10) сходится абсолютно в

1 1

x

1

интервале

;

, т.е. при

, и расходится вне этого интервала,

x

1

т.е. при

;

б) если 0, то ряд (2.10) сходится при любом x;

в) еслибА, то ряд (2.10) сходится лишь при x 0[11].

Определение. Число R называется радиусом сходимости ряда

(2.10), если при всех x, для которых

x

R, ряд (2.10) сходится, а при

всех x, для которых

x

И

R, ряд (2.10) расходится.

Из теорем 2 и

3

следует, чтоДв случае, когда 0 и R ,

имеет место равенство R

1

.

Условимся считать

R 0 для рядов,

и R для рядов,

сходящихся при

расходящихся при всех x 0,

любых x.

Из этого определения и теорем 2 и 3 следует

R

1

1

an

,

(2.15)

lim

a

lim

n 1

n

a

n 1

an

n

или

1

1

R

.

(2.16)

lim n an

n

Заметим, что вопрос о сходимости ряда (2.10) в точках x R и

x R решается дополнительными исследованиями.

Таким образом, для области сходимости ряда (2.10) возможны

следующие случаи.

1. Ряд (2.10) сход тся только при x 0. Область сходимости со-

стоит

з одной точки x 0, R 0.

стиR;R , R;R , R;R , R;R ,

2. Ряд (2.10) не меет точек расходимости. Область сходимости

Ссовпадает со всей ч словой прямой ; ,

R .

3. Ряд (2.10) меет как отличные от нуля числа точки сходимо-

, так

бА

точки расходимости. В зависимости от данного ряда об-

ласть сход мости является одним из промежутков

гдеR lim

an

, или R

1

.

n

an 1

limn an

n

Определение. Независимо от того, какой именно случай имеет

место,

интервал R;R

называется интервалом сходимости ряда

(2.10).

Д

Пример 1. Найти область сходимости ряда

1 x 2!x2

3!x3

И

n!xn .

Решение. По формуле (2.15) имеем

R lim

an

lim

n!

lim

1 2 3 n

an 1

n

n n 1 !

n 1 2 3 n n 1

lim

n!

lim

1

0.

n n! n 1

n n 1

x

x2

x3

xn

.

2

32

23 33

2n 3n

2 3 2

Решение.

R lim

a

n

lim

1

:

1

lim

2n 1 3n 1

Сlim

n

an 1

n

2n 3n

2n 1 3n 1

n

2n

3n

2

n 1

2

n 1

n 1

3

1

1

3

lim3

3

3,

n

n

n

n

2

n

2

3

1

1

3

3

2

n

ти.к. lim 0.

n 3

R 3,

Так м

,

ряд

сходится

абсолютно

в интервале

3;3 . Исследуем ряд на сходимость в концах интервала. При

x 3

получаем числовой ряд

образом

3n

3

32

3

.

32

23 33

2n 3n

2 3 22

Воспользуемся необходимым признаком сходимости рядов с

А

положительными членами.

Рассмотрим

lima

n

lim

3n

lim

3n

lim

3n

n

n

n

n

n

n

n

n

2

3

2

Д3

3

n

2

1

3

1

lim

1, значит, ряд расходится. При x 3 приходим к ря-

2 n

n

1

И

3

1 n3n

ду

3

32

3

, который по признаку

2 3

22 32

23

33

2n

3n

x

x

2

x

3

x2n 1

.

5

52

53

5n

Решение. К этому ряду формула (2.15) неприменима, так как

отсутствуют четные степени переменной x, т.е. a2k

0, k 1, 2, 3, .

Пр меняем непосредственно признак Даламбера:

С

x

2n 1

x

2n 1

x

2n 1

5

n

lim

Un 1 x

lim

:

lim

5n 1

5n

x2n 1 5n 1

n

Un

x

n

n

б5 А

lim

x2n 1 x2

5n

lim

x2

.

2n 1

n

5

иx 5 5

n

n